二叉树的定义：
是一颗空树或者具有以下性质
1.结点最多只有两个孩子，且有左右之分。不能交换左右孩子
2.结点点的左子树和右子树也是二叉树。
例图
二叉树的基本形态：
二叉树中的术语：
1).结点度：节点所拥有的字数的个数成为该节点的度，在二叉树中度的取值只能是0,1,2.
2).叶节点：度为0的节点成为叶结点或终端结点。
3).左孩子、右孩子、双亲：树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
4).路径、路径长度：如果一棵树的一串结点n1,n2,…,nk有如下关系：结点ni是ni+1的父结点（1≤i<k）,就把n1,n2,…,nk称为一条由n1至nk的路径。这条路径的长度是k-1。
5).结点的层数：规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加1。
6).树的深度：树中所有结点的最大层数称为树的深度。
7).满二叉树。 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的一棵二叉树称作满二叉树。
8).完全二叉树。一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为 i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。完全二叉树的特点是：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左 部。
二叉树的性质：
1).非空二叉树叶子结点数等于度为2的结点数加1，即N0=N2+1.（其中N0和N2分别是叶结点和度为2结点的个数）。
2).非空二叉树第K层上最多有 2^(k - 1)个结点(K>= 1).
3).高度为H的节点，最多有2^H - 1个节点(H >= 1).
二叉树的基本操作：
/*以下为二叉树的常用操作(如有错误之处还望之处)
采用二叉链表的存储结构*/
1 typedef struct BiTNode //二叉树的节点 2 { 3 DataType m_Value; 4 BiTNode *m_pLeft; 5 BiTNode *m_pRight; 6 }BiTNode;
//创建二叉树（先序）
1 //创建二叉树（先序） 2 void createBiTree(BiTNode * &pCurrent) 3 { 4 cout << "先序输入节点："; 5 DataType value; 6 cin >> value ; 7 if(value == '#') 8 pCurrent = NULL; 9 else 10 { 11 pCurrent = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)); 12 pCurrent->m_Value = value; 13 createBiTree(pCurrent->m_pLeft); 14 createBiTree(pCurrent->m_pRight); 15 } 16 }
//递归实现前序遍历二叉树
1 void preOrderVisitUseRecur(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 if(pCurrent) 4 { 5 cout << pCurrent->m_Value << " "; 6 preOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pLeft); 7 preOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pRight); 8 } 9 }
//用栈，不用递归实现前序排列
1 void preOrderVisitUseStack(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 stack<const BiTNode *> pNodeStack; 4 const BiTNode *p = pCurrent; 5 while(p||!pNodeStack.empty()) 6 { 7 if(p) //如果该节点不是NULL 8 { 9 cout << pCurrent->m_Value << " "; //访问节点的值 10 pNodeStack.push(p); //将节点压栈 11 p = p->m_pLeft; 12 } 13 else 14 { 15 //如果该节点是NULL 16 p = pNodeStack.top(); //获取栈顶元素 17 pNodeStack.pop(); //删除栈顶元素 18 p = p->m_pRight; //访问右节点 19 } 20 21 } 22 }
//递归实现中序遍历
1 void inOrderVisitUseRecur(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 if(pCurrent) 4 { 5 inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pLeft); 6 cout << pCurrent->m_Value << " "; 7 inOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pRight); 8 } 9 }
//用栈实现中序遍历
1 void inOrderVisitUseStack(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 stack<const BiTNode *> pNodeStack; 4 const BiTNode * p = pCurrent; 5 while(p||!pNodeStack.empty()) 6 { 7 if(p) //如果该节点不是NULL 8 { 9 pNodeStack.push(p); //将节点压栈 10 p = p->m_pLeft; 11 } 12 else 13 { 14 //如果该节点是NULL 15 p = pNodeStack.top(); //获取栈顶元素 16 pNodeStack.pop(); //删除栈顶元素 17 cout << pCurrent->m_Value << " "; //访问节点的值 18 p = p->m_pRight; //访问右节点 19 } 20 } 21 }
//递归实现后序遍历
1 void afterOrderVisitUseRecur(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 if(pCurrent) 4 { 5 afterOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pLeft); 6 afterOrderVisitUseRecur(pCurrent->m_pRight); 7 cout << pCurrent->m_Value << " "; 8 } 9 }
//用栈实现后序遍历
1 void afterOrderVisitUseStack(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 stack<const BiTNode *> pNodeStack1; 4 stack<const BiTNode *> pNodeStack2; 5 const BiTNode * p =pCurrent; 6 while(p||!pNodeStack1.empty()) 7 { 8 if(p) //如果该节点不是NULL 9 { 10 pNodeStack1.push(p); //将节点压栈 11 pNodeStack2.push(p); //将节点压栈 12 p = p->m_pRight; 13 } 14 else 15 { 16 //如果该节点是NULL 17 p = pNodeStack1.top(); //获取栈顶元素 18 pNodeStack1.pop(); //删除栈顶元素 19 p = p->m_pLeft; //访问左节点 20 } 21 } 22 p = NULL; 23 while(!pNodeStack2.empty()) 24 { 25 p = pNodeStack2.top(); //获取栈顶元素 26 pNodeStack2.pop(); //删除栈顶元素 27 cout << pCurrent->m_Value << " "; 28 } 29 }
//按层次进行遍历（有点小问题）
1 /* 2 void levelOrderVisit(const BiTNode *pCurrent) 3 { 4 deque<const BiTNode *> pNodedeue; 5 const BiTNode * p = NULL; 6 if(pCurrent) 7 { 8 pNodedeue.push_back(pCurrent); //第一次将节点放到队列 9 } 10 while(!pNodedeue.empty()||p) 11 { 12 p = *pNodedeue.begin(); //返回队列首元素，但不删除 13 pNodedeue.pop_front(); //删除队首元素 14 if(p) 15 { 16 cout << p->m_Value; 17 if(p->m_pLeft) 18 pNodedeue.push_back(p); //左孩子不空则进入队列 19 if(p->m_pRight) 20 pNodedeue.push_back(p); //右孩子不空则进入队列 21 } 22 } 23 } 24 */
//计算树的深度
1 int getTreeDepth(const BiTNode * pCurrent) 2 { 3 int leftDepth = 0,rightDepth = 0; 4 if(!pCurrent) 5 { 6 //空的话返回0 7 return 0; 8 } 9 else 10 { 11 leftDepth = getTreeDepth(pCurrent->m_pLeft); //获得左子树的高度 12 rightDepth = getTreeDepth(pCurrent->m_pRight); //获得右子树的高度 13 return (leftDepth>rightDepth?leftDepth:rightDepth) + 1; 14 } 15 }
//计算树节点的个数
1 int coutTreeNodeNums(const BiTNode *pCurrent) 2 { 3 int leftNums,rightNums; 4 if(!pCurrent) 5 { 6 return 0; 7 } 8 else 9 { 10 leftNums = coutTreeNodeNums(pCurrent->m_pLeft); 11 rightNums = coutTreeNodeNums(pCurrent->m_pRight); 12 } 13 return leftNums + rightNums + 1; 14 }
//以下是各操作的实例
1 int main() 2 { 3 BiTNode * root = NULL; 4 cout << "start to create a tree:" << endl; 5 createBiTree(root); 6 cout << "visit a tree use 递归先序:" << endl; 7 preOrderVisitUseRecur(root); 8 cout << endl; 9 cout << "visit a tree use 栈先序:" << endl; 10 preOrderVisitUseStack(root); 11 cout << endl; 12 cout << "visit a tree use 递归中序:" << endl; 13 inOrderVisitUseRecur(root); 14 cout << endl; 15 cout << "visit a tree use 栈中序:" << endl; 16 inOrderVisitUseStack(root); 17 cout << endl; 18 cout << "visit a tree use 递归后序:" << endl; 19 afterOrderVisitUseRecur(root); 20 cout << endl; 21 cout << "visit a tree use 栈后序:" << endl; 22 afterOrderVisitUseStack(root); 23 cout << endl; 24 //cout << "层次遍历：" << endl; 25 //levelOrderVisit(root); 26 cout << "树中节点的个数：" << coutTreeNodeNums(root) << endl; 27 cout << "树的深度为：" << getTreeDepth(root) << endl; 28 return 0; 29 }
