关于时间复杂度的几个问题

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原文链接http://www.geeksforgeeks.org/a-time-complexity-question/

 

fun()的时间复杂度是多少？假设log(x) 是以2为底的

void fun()
{
   int i, j;
   for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=log(i); j++)
         printf("GeeksforGeeks");
}

这份函数的时间复杂度可以写作Θ(log 1) + Θ(log 2) + Θ(log 3) + . . . . + Θ(log n) = Θ(log n!)。

当n是一个很大的数时 log n! 就等于 nlogn 所以说Θ (log n!) = Θ(n log n） 那么fun()的时间复杂度就是 Θ (nlog n)。

可以用斯特灵公式来证明Θ(log n!) = Θ(n log n)

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

 

第二个问题

void fun(int n)
{
   int j = 1, i = 0;
   while (i < n)
   {
       // Some O(1) task
       i = i + j;
       j++;
   }
}

循环计数器是按照1，2，3，4 直到i>=n

i的值 是x(x+1)/2, x是循环的次数，所以循环x次, x(x+1)/2 所以时间复杂度是Θ(√n)

 

第三个问题

 

void fun(int n, int k)
{
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
      int p = pow(i, k); 
      for (int j=1; j<=p; j++)
      {
          // Some O(1) work
      }
    }
}

时间复杂度可以写作1^k+2^k+3^k+...+n^k

 

k=1
Sum = 1 + 2 + 3 ... n 
    = n(n+1)/2 
    = n^2 + n/2

k=2
Sum = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... n^2.
    = n(n+1)(2n+1)/6
    = n^3/3 + n^2/2 + n/6

k=3
Sum = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3.
    = n^2(n+1)^2/4
    = n^4/4 + n^3/2 + n^2/4  

 

So the time complexity is Θ(n^(k+1) / (k+1)) 

 

第四个问题：

这个函数是计算2维数组的和，忽略编译器的优化，哪一种实现更好呢

// Function 1
int fun1(int arr[R][C])
{
    int sum = 0;
    for (int i=0; i<R; i++)
      for (int j=0; j<C; j++)
          sum += arr[i][j];
}
 
// Function 2
int fun2(int arr[R][C])
{
    int sum = 0;
    for (int j=0; j<C; j++)
      for (int i=0; i<R; i++)
          sum += arr[i][j];
}

在C/C++里， 元素是按照行优先的顺序存储的（一行中的元素是连续存储在内存的），所以第一个实现比较好