堆排序(heapsort)

堆排序的运行时间为Θ(nlgn),它是一种原地排序算法：在任何时候，数组中只有常数个元素存储在输入数组以外；

对数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中得每个结点与数组中存放该结点值的那个元素对应。

树的每一层都是填满的，最后一层可能除外，表示堆的数组A是一个具有两个属性的对象:length[A]是数组中的元素

个数，heap-size[A]是存放A中的堆元素个数。

给定某个结点的下标 i , 其父结点PARENT(i),左儿子LEFT(i)和右儿子RIGHT(i)的下标可以计算出来：

PARENT(i)

　　return i/2

LEFT(i)

　　return 2 * i

RIGHT(i)

　　return 2 * i + 1

最大堆是指除了根以外的每个结点 i，有 A[PARENT(i)] >= A[i]

最小堆是指除了根以外的每个结点 i，有 A[PARENT(i)] <= A[i]

在堆排序算法中使用的是最大堆。

保持堆的性质  MAX- HEAPIFY 过程：

MAX-HEAPIFY(A, i)
　　l ← LEFT(i)
　　r ← RIGHT(i)
　　if l <= heap-size[A] and A[l] > A[i]
　　　　then largest ← l
　　　　else largest ← i
　　if r <= heap-size[A] and A[r] > A[largest]
　　　　then largest ← r
　　if largest != i

　　　　then exchange A[i] ↔ A[largest]
　　　　　　MAX-HEAPIFY(A, largest)

BUILD-MAX-HEAP过程：

BUILD-MAX-HEAP(A)
　　heap-size(A) ← length[A]
　　for i ← length[A]/2 downto 1
　　　　do MAX-HEAPIFY(A, i)

堆排序算法：

HEAPSORT(A)
　　BUILD-MAX-HEAP(A)
　　for i ← length[A] downto 2
　　　　do exchange A[1] ↔ A[i]
　　　　　　heap-size[A] ← heap-size[A] - 1
　　　　　　MAX-HEAPIFY(A, 1)

Java实现

    public void heapSort(int[] a)
    {
        int heapSize = a.length;
        buildMaxHeap(a);
        for (int i = a.length - 1; i > 0; i--)
        {
            swap(a, 0, i);
            maxHeapify(a, 0, --heapSize);
        }
    }
    
    private void buildMaxHeap(int[] a)
    {
        for (int i = a.length / 2; i >= 0; i--)
        {
            maxHeapify(a, i, a.length);
        }
    }
    
    private void maxHeapify(int[] a, int i, int heapSize)
    {
        int largest = 0;
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        if (l < heapSize && a[l] > a[i])
        {
            largest = l;
        }
        else
        {
            largest = i;
        }
        if (r < heapSize && a[r] > a[largest])
        {
            largest = r;
        }
        if (largest != i)
        {
            swap(a, i, largest);
            maxHeapify(a, largest, heapSize);
        }
    }
    
    private void swap(int[] data, int src, int des)
    {
        int tmp = data[des];
        data[des] = data[src];
        data[src] = tmp;
    }

用Java实现伪码需要注意

1.数组的下标:

• 大于1还是大于0，等等
• 因为Java的数组下标是从0开始，与伪码对应的结点 i 左孩子右孩子的下标分别是2*1+1, 2*i+2.

2.maxHeapify需要一参数heapSize是因为在heapSort交换后，要从堆中去掉此元素结点（此时去掉的元素结点就是堆中的最大结点）

3.堆排序是分3个过程来完成，在最后验证堆排序的实现是否正确，先测试验证maxHeapify正确，然后是建堆buildMaxHeap正确，最后验证

堆排序是否正确。否则一开始就验证堆排序，出了问题就不知道到底是哪个过程出错。