最高科技——快速枚举约数
求数n的最小的约数r,使r满足性质P,这些性质满足这样的一个条件:若有d|r满足性质P,则有r也满足P。
首先O(√n)直接暴力枚举因数显然可行,然而我们有更快的方法。
设n=pk11pk22…pkmm
我们先从大到小枚举数w1,使其成为最小的w1使得t=pw11pk22…pkmm满足P。
再枚举w2,使其成为最小的w2使得t=pw11pw22…pkmm满足P。
一直枚举,得到数t=pw11pw22…pwmm,即为最终的答案。
正确性由性质的性质显然,不计因式分解,则总时间复杂度为O(lgn⋅P)。
这个方法的应用暂且知道两个:
一是求原根,枚举约数时直接改为上面的方法,验证一个数的时间降为O(lg2n)。
二是求字符串的最小循环节,将本来的枚举约数改为上述算法,那就只用枚举O(lgn)种长度。
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