最高科技——疯狂的前缀和

求\[\sum_{k=1}^N f_k\]

显然这玩意是可以\(O(N)\)的，看起来也不能再优化了。

但是在这个宇宙中确实还存在着更快的算法……

令\[g_n=\sum_{d|n}f_d , F_n=\sum_{k=1}^{n}f_k\]

因为\[\sum_{k=1}^N g_k = \sum_{k=1}^N {f_k \lfloor \frac Nk \rfloor} = \sum_{k=1}^N F_{\lfloor \frac Nk \rfloor}\]

整理得到\[F_N=\sum_{k=1}^N g_k - \sum_{k=2}^N F_{\lfloor \frac Nk \rfloor}\]

如果能够在 \(O(\sqrt{N})\)的时间内求出\(\sum_{k=1}^N g_k\)，那么可以在\(O(N^\frac 34)\)的时间内计算出\(F(N)\)。

\(\sum_{k=1}^N g_k\)对于某些特殊的\(g_k\)能做的很快，例如\[\sum_{k=1}^N\sum_{d|k}\mu(d)=1\]\[\sum_{k=1}^N \sum_{d|k}\phi(d)=\sum_{k=1}^N k=\frac{N(N+1)}{2}\]

如果\(g_n\)能够很快的计算，那么可以对于\(n \leq N^\frac 23\)线性暴力计算\(F_n\)，否则递归计算，可以做到\(O(N^\frac 23)\)。