BZOJ2705: [SDOI2012]Longge的问题

好吧，确实是个水题，但是网上的题解似乎都不怎么靠谱。

首先我们可以用反演：

\(\begin{align*}\because \sum_{d|n} \phi(d) &= n \\\therefore Answer(N)&=\sum_{i=1}^N \gcd(i,N) \\&=\sum_{i=1}^N \sum_{d|i}\phi(d)\\&=\sum_{d|N} \phi(d) \times \frac{N}{d}\end{align*} \)

但这样还不够，复杂度还是\(O(N)\)的。

我们可以看到，这其实是函数\(f(x)=\phi(x)\)与函数\(g(x)=x\)的狄利克雷卷积，又因为\(f\)与\(g\)都是积性函数，所以\(Answer\)函数也是积性函数。

所以我们将\(N\)分解为\(p_1^{k_1}\times p_1^{k_1}\times\ldots\times p_m^{k_m}\)

对于每一个\(p^k\)直接根据公式计算就行了，这样总的复杂度就只有因式分解的\(O(\sqrt{N})\)了（或许可以用其他神奇的算法再降下来呢~）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL N,p,k;//N=p^k
inline LL calc()
{
    LL ans=0;
    for(LL f=1,i=0,num=1;i<=k;i++,num*=p)
        ans+=f*N/num,f*=i?p:p-1;
    return ans;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    LL Ans=1,n;cin>>n;
    for(LL i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            for(k=0,N=1;n%i==0;k++)n/=i,N*=i;
            p=i;Ans*=calc();
        }
    if(n>1)N=p=n,k=1,Ans*=calc();
    cout<<Ans<<endl;
    return 0;
}