前缀和/差分

1. 前缀和

$\mathcal{O}(n)$ 预处理，多次 $\mathcal{O}(1)$ 查询。

1.1 一维前缀和

给你一个 $n$ 个数的序列 $a$，多次查询 $l\sim r$ 的和。

维护 $b_i=\sum _{i=1}^i{a}_i$，查询区间 $l\sim r$ 的和就是 $b_r-b_{l-1}$。

1.2 二维前缀和

给你一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $a$。接下来有 $q$ 次查询，给定参数 $x_1,y_1,x_2,y_2$。请输出以 $(x_1,y_1)$ 为左上角, $(x_2,y_2)$ 为右下角的子矩阵的和。

设 $b_{i,j}$ 为 $(1,1)\sim (i,j)$ 这个矩阵的和，由容斥原理，可得递推式 $b_{i,j}=b_{i-1,j}+b_{i,j-1}-b_{i-1,j-1}+a_{i,j}$。

如果要求 $(x_1,y_1)(x_2,y_2)$ 的矩阵和，那么 $ans=b_{x_2,y_2}-b_{x_1-1,y_2}-b_{x_2,y_1-1}+b_{x_1-1,x_2-1}$。

2. 差分

支持 $\mathcal{O}(1)$ 修改，最后 $\mathcal{O}(n)$ 查询。

1.1 一维差分

给你一个 $n$ 个数的序列 $b$，每次操作令 $l\sim r$ 集体加上 $v$，最后求序列 $a$。

设 $a_i=\{\begin{array}{}0& i=1\\ b_i-b_{i-1}& i>1\end{array}$，令 $l\sim r$ 集体加上 $v$ 就是 $a_l+v$，$a_{r+1}-v$，最后对 $a$ 做一遍前缀和就得到了最终结果，这是因为前缀和和差分是互逆运算。

1.2 二维差分

给你一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $b$。$q$ 次操作，每次给定参数 $x1,y1,x2,y2,v$，将子矩阵 $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$ 加上 $v$，最后输出矩阵 $b$。

由于前缀和和差分是互逆运算，设 $a$ 为 $b$ 的差分数组，对前缀和的递推式做代数变换可得 $a_{i,j}=b_{i,j}+b_{i-1,j-1}-b_{i-1,j}-b_{i,j-1}$。

将子矩阵 $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$ 加上 $v$，其实就等价于

$$\{\begin{array}{}{a}_{x_1,y_1}+v\\ a_{x_2+1,y_1}-v\\ a_{x_1,y_2+1}-v\\ a_{x_2+1,y_2+1}+v\end{array}$$

最后对于 $a$ 数组做一遍前缀和就可以得到 $b$ 数组了。

二维前缀和/差分看起来很麻烦但其实画个图很好理解。