单调栈/单调队列

1. 单调栈

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a$，对每个数字求出其右/左边第一个值大于等于它的数字的位置。

考虑从左到右扫整个序列，维护一个栈，里面存放可能成为答案的数字，当遍历到一个新的数 $a_i$ 的时候，可以发现栈中 $\le a_i$ 的数就再也不可能成为答案了，那就把它们弹掉，此时栈顶就是答案，之后加入 $a_i$。

由于栈中的元素是单调不升的，故得名单调栈。

这么做的复杂度：每个元素只会入栈出栈一次，所以复杂度是线性的。

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Rep(i,n,1)
{
	while(top>0&&a[s[top]]<=a[i]) top--;
	ans[i]=s[top];
	s[++top]=i;
}

最大值求和

给出一个 $n$ 个数的序列，对所有 $1\le l\le r\le n$ 求 $max(a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r)$ 并求和。$n\le {10}^6,a_i\le {10}^3$。

考虑一个数字会在哪些区间被算到，对于一个数字 $a_p$，用单调栈求出左面和右面第一个比它大的位置 $l_p$ 和 $r_p$，那么当 $l_p<L\le p\le R<r_p$ 的时候，区间 $[L,R]$ 的 $max$ 就是 $a_p$，依据乘法原理，$a_p$ 的贡献就是 $a_p\times (p-l_p)\times (r_p-p)$，求和即可。

注意序列中有相同数字的时候，要钦定（比如）左边的比右边的大。

序列最大价值

给出一个 $n$ 个数字的序列，求 $1\le l\le r\le n$ 使得 $(r-l+1)\times min(a_l,a_{l+1},\dots ,a_{r-1},a_r)$ 最大。$n\le {10}^6,a_i\le {10}^3$。

还是和刚才一样对每个数字维护其在哪个极大区间成为最小值，然后算一算即可。

洛谷 P4147 玉蟾宫

有一个矩阵，每个位置是 $0$ 或者 $1$。求最大的全 $1$ 子矩阵。$n\times m\le {10}^6$。

枚举每一行，对每个位置维护其向上极长的 $1$ 的段的长度，然后每行转化为刚刚那个问题即可。

2. 单调队列

有一个长为 $n$ 的序列 $a$，以及一个大小为 $k$ 的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值。

沿用单调栈的思路，从左到右扫描每一个 $i$，从栈顶弹数，不过由于栈底的数有可能不在滑动窗口里了，所以还要从栈底弾掉，栈不支持此操作，考虑使用队列。复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

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l=1,r=0;
For(i,1,n)
{
	while(l<=r&&a[q[r]]<=a[i]) r--;
	q[++r]=i;
	while(l<=r&&i-q[l]>=k) l++;
	if(i>=k) cout<<a[q[l]]<<" "; 
}