思维题选记

洛谷 P1146 硬币翻转

首先，有一个关于硬币翻转的性质，就是一个硬币只有翻转奇数次才能反面朝上，这是显然的。这启发我们构造一种能使每个硬币翻转奇数次的方案。

同时，我们发现对完全相同的一组 $n - 1$ 个硬币执行两次及以上的操作是没有意义的，因为执行奇数次的话，就相当于 $1$ 次。偶数次的话就相当于什么都没有做。所以说方案数最大就是 $n$ 次，因为不同的操作序列只有 $n$ 个。

有了以上两个性质，我们便可以构造如下方案：

第 $i$ 次翻转除第 $i$ 枚硬币以外的 $n - 1$ 枚硬币，其中 $1 \leq i \leq n$ 。

这样的方案中显然每一枚硬币都被翻转了 $n - 1$ 次，由于 $n$ 为偶数，所以符合性质一。这样操作次数共有 $n$ 次，可以证明这是最小的方案数，同时也符合了性质二。这样的方案也是字典序最小的方案，所以这就是正确的解法。

NOIP2000 提高组进制转换

十进制数转负进制，同样可以使用短除取余法，但是会出现余数为负的情况，例如 $- 11 \div - 2 = 5 \dots \dots - 1$ ，此时我们可以用如下法方解决此问题：

我们设被除数为 $a$ ，除数为 $b$ ，余数为 $c$ ，商为 $d$ ，其中 $c < 0$ 且 $b < 0$ 。

由除法的定义可知 $a = b \times d + c$ ，所以有 $a = b \times (d + 1) + c - b$ ，由于余数小于被除数，所以有 $c < b$ ，又因为 $c < 0$ 且 $b < 0$ ，所以新的余数 $c - b > 0$ 。

所以我们只需要将商加 $1$ ，余数减除数，即可解决余数为负的情况。

洛谷 P2192 HXY玩卡片

如果一个数能被 $90$ 整除，那么它一定能被 $9$ 和 $10$ 整除。

能被 $10$ 整除，那就说面答案的个位数一定是 $0$ ，如果没有 $0$ 的话就是无解。
能被 $9$ 整除，那就说明答案的各个位加起来的和能被 $9$ 整除，由于答案仅有 $0$ 和 $5$ 组成，所以只需要判断所有 $5$ 加起来能否被 $9$ 整除即可。也就是说，如果有 $x$ 个 $5$ ，那么需要保证 $5 \cdot x$ 是 $9$ 的倍数，所以有 $x ∣ 9$ 。

有了上面的推导，我们便有了解法：

设一共有 $x$ 个 $5$ ，因为要满足 $x ∣ 9$ ，所以我们最多只能选 $⌊ \frac{x}{9} ⌋ \times 9$ 个 $5$ 。因为要求最大，所以把这些 $5$ 先输出，最后输出有的所有 $0$ 。但是有可能没有足够的 $5$ ，这样就只能输出 $0$ 了，当然是在有 $0$ 的情况下。

NOIP1998 提高组拼数

设 $X$ 为数字 $x$ 的字符串形式。
$A + B$ 表示字符串 $A$ 和字符串 $B$ 相连组成的字符串。

既然要构造最优解，显然如果有不优的情况的话，就需要对序列进行调整，具体而言我们可以这样做：

如果有 $A_{i + 1} + A_{i} > A_{i} + A_{i + 1}$ ，其中 $1 \leq i < n$ ，那么就交换 $A_{i + 1}$ 和 $A_{i}$ ，现在 $A$ 的字典序明显更大了。重复上述操作，直至没有满足上述条件的情况了。

为什么上述做法是对的呢？我们可以考虑用反证法进行证明：

经过上述操作后，设最终序列为 $T_{1} \dots T_{n}$ ，且序列 $T$ 满足 $T_{i} + T_{i + 1} > T_{i + 1} + T_{i}$ ，其中 $1 \leq i < n$ 。我们先假设命题不成立，则序列 $T$ 不是字典序最大的序列，而 $S$ 是字典序最大的序列，那么 $S$ 必然有与 $T$ 不同的地方，则必然有 $S_{i + 1} + S_{i} > S_{i} + S_{i + 1}$ ，此时如果交换 $S_{i}$ 和 $S_{i + 1}$ ，则必然有更大的字典序，与假设矛盾，故命题成立。

洛谷 P9484 「LAOI-1」GCD

命题 $1$ ：当 $x$ 和 $y$ 不连边时时， $x$ 到 $y$ 的最短路径中一定有一条只经过一个中转点的路径。

命题 $2$ ：在所有 $x \to z \to y$ 的路径中， $z = gcd (x, y)$ 时的路径是最短的。

考虑先证明命题 $2$ ：

首先，可以推导出条件 $gcd (i, j) = i, lcm = j$ 等价于 $i ∣ j$ ，也就是说 $z$ 一定是 $x$ 和 $y$ 的一个公倍数/因数，

当 $z$ 为公倍数时，设 $z = k \times x$ ， $x \to z$ 的长度 $d$ 为 $z - x = (k - 1) \times x$ ，由于 $k > 1$ ，所以此时 $d \geq x$ 。而 $z = gcd (x, y)$ 时， $x \to z$ 的长度为 $x - gcd (x, y)$ ，显然有 $d > x - gcd (x, y)$ 。同理 $z \to y$ 也是不优的，故这种情况是不优的。
当 $z$ 为公因数时，且 $z < gcd (x, y)$ ，此时的总长度 $d = x + y - 2 \times z$ ，所以 $d > x + y - 2 \times gcd (x, y)$ ，故这种情况也是不优的。