Codeforces 1165E Two Arrays and Sum of Functions 题解

题目简述

已知两个长度均为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$ 。

给定一个函数： $f (l, r) = \sum_{l \leq i \leq r} a_{i} \cdot b_{i}$ 。

你的任务是对数组 $b$ 中的元素以任意的顺序重新排序，使 $\sum_{1 \leq l \leq r \leq n} f (l, r)$ 的值最小。

题目分析

我们首先进行化简，发现题目中要求的实质上就是最小化 $\sum_{l = 1}^{n} \sum_{r = l}^{n} \sum_{i = l}^{r} a_{i} \times b_{i}$ 。接下来，我们考虑每一个 $a_{i} \times b_{i}$ 的贡献，由上述和式可知， $a_{i} \times b_{i}$ 出现的次数等于包含 $i$ 的区间的个数，设包含 $i$ 的区间为 $[l, r]$ 。显然 $1 \leq l \leq i$ 且 $i \leq r \leq n$ 。则 $l$ 共有 $i$ 个， $r$ 共有 $n - i + 1$ 个，由乘法原理可得，包含 $i$ 的区间共有 $i \times (n - i + 1)$ 个。即 $a_{i} \times b_{i}$ 共计算了 $i \times (n - i + 1)$ 次。

有了上述的推导，题目要最小化的和式便可以化简成 $\sum_{i = 1}^{n} i \times (n - i + 1) \times a_{i} \times b_{i}$ ，由题目可得 $i \times (n - i + 1) \times a_{i}$ 是不变的，所以我们可以令 $c_{i} = i \times (n - i + 1) \times a_{i}$ ，题目便被转化成最小化 $\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \times b_{i}$ 。

此时，我们引入排序不等式，它的内容如下：

设有两个长度为 $n$ 的数列 $a$ 和 $b$ ，满足 $a$ 序列和 $b$ 序列单调不减， $c$ 序列是 $b$ 序列的乱序排列，则有：

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times b_{n - i + 1} \leq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times c_{i} \leq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times b_{i}$

有了排序不等式，解法就呼之欲出了，我们倒序排列序列 $c$ ，再升序排列序列 $b$ ，最后求 $\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \times b_{i}$ 即可，由排序不等式可证，此时的答案就是最小的了。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int unsigned long long
const int N=2*1e5+10;
const long long mod=998244353;
int n,a[N],b[N],ans;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
	    if(ch=='-')
		{
			f=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
	    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;
	    ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
	{
    	putchar('-');
		x=-x;
	}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
bool cmp(int x,int y)
{
	return x>y;
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		b[i]=read();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]*=i*(n-i+1);
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	sort(b+1,b+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]%=mod;
		ans=(ans+a[i]*b[i])%mod;
		ans%=mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}