数据结构之 最小生成树

 一个连通图的生成树是一个极小的连通子图,它含有图中全部顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。

    找连通网的最小生成树,经典的有两种算法,普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。下面分别介绍两种算法。

一、普里姆(Prim)算法

    普里姆算法,图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括连通图里的所有顶点,且其所有边的权值之和亦为最小。

1.1 算法描述

    从单一顶点开始,普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目,直到遍及连通图的所有顶点。
    (1)输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
    (2)初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {};
    (3)重复下列操作,直到Vnew = V:
            在集合E中选取权值最小的边(u, v),其中u为集合Vnew中的元素,而v则不是(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
            将v加入集合Vnew中,将(u, v)加入集合Enew中;
    (4)输出:使用集合VnewEnew来描述所得到的最小生成树。

1.2 例示

      

      

1.3 普里姆算法实现

/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <curses.h>
 
typedefchar VertexType;        //顶点类型应由用户定义
typedefint EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
 
#define MAXVEX  100             //最大顶点数,应由用户定义
#define INFINITY    65535       //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
 
//邻接矩阵结构
typedefstruct
{
    VertexType vexs[MAXVEX];    //顶点表
    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵,可看作边
    intnumVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
 
//定位
intlocates(Graph *g, charch)
{
    inti = 0;
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        if(g->vexs[i] == ch)
        {
            break;
        }
    }
    if(i >= g->numVertexes)
    {
        return-1;
    }
     
    returni;
}
 
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
voidCreateGraph(Graph *g)
{
    inti, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
     
    #ifdef DEBUG
    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
    #endif
 
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("请输入顶点%d:\n", i);
        g->vexs[i] = getchar();
        while(g->vexs[i] == '\n')
        {
            g->vexs[i] = getchar();
        }
    }
     
    #ifdef DEBUG
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("%c ", g->vexs[i]);
    }
    printf("\n");
    #endif
 
 
    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
    {
        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
        {
            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
        }
    }
    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
    {
        charp, q;
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权值:\n");
         
        p = getchar();
        while(p == '\n')
        {
            p = getchar();
        }
        q = getchar();
        while(q == '\n')
        {
            q = getchar();
        }
        scanf("%d", &w);    
         
        intm = -1;
        intn = -1;
        m = locates(g, p);
        n = locates(g, q);
        if(n == -1 || m == -1)
        {
            fprintf(stderr,"there is no this vertex.\n");
            return;
        }
        //getchar();
        g->arc[m][n] = w;
        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图,矩阵对称
    }
}
 
//打印图
voidprintGraph(Graph g)
{
    inti, j;
    printf("构建的邻接矩阵如下所示.\n");
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
        {
            printf("%5d  ", g.arc[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
 
//prime算法最小生成树
voidMiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
    intmin, i, j, k;
    intadjvex[MAXVEX];         //保存相关顶点下标
    intlowcost[MAXVEX];        //保存相关顶点间边的权值
    lowcost[0] = 0;             //初始化第一个权值为0,即v0加入生成树
 
    adjvex[0] = 0;              //初始化第一个顶点下标为0
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        //循环除下标为0外的全部顶点
        lowcost[i] = g.arc[0][i];   //将v0顶点与之有边的权值存入数组
        adjvex[i] = 0;              //初始化都为v0下标
    }
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY;             //初始化最小权值为无穷大
        j = 1;
        k = 0;
        while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
        {
            //如果权值不为0,且权值小于min
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];       //则让当前权值成为最小值
                k = j;                  //将当前最小值的下标存入k
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
        lowcost[k] = 0;                 //将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务
 
        for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
        {
            if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
                lowcost[j] = g.arc[k][j];
                adjvex[j] = k;              //将下标为k的顶点存入adjvex
            }
        }
    }
    printf("\n");
}
 
intmain(intargc, char**argv)
{
    Graph g;
     
    //邻接矩阵创建图
    CreateGraph(&g);
    //打印网图
    printGraph(g);
    //求最小生成树
    MiniSpanTree_Prime(g);
 
    return0;
}


     运行结果如下:

    

    

    

    由代码实现可知,邻接矩阵实现的普里姆算法的时间复杂度为O(n2)。


二、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

    普力马算法是以某顶点为起点,逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。同样的思路,我们也可以直接就以边来构建生成树也是很自然的想法,只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时,我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码:

1
2
3
4
5
6
7
//对边集数组Edge结构的定义
 typedefstruct
  {
      intbegin;
      intend;
     intweight;
 }Edge;
     我们可以通过程序将邻接矩阵通过程序转化为边集数组,并且对它们的按权值从小到大排序。如下图所示。

    

    于是克鲁斯卡尔算法代码如下,左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的最大值,MAXVEX为顶点个数最大值。具体代码如下所示。

/* 邻接矩阵表示的图结构*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
 
typedefchar VertexType;        //顶点类型应由用户定义
typedefint EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
 
#define MAXVEX  100             //最大顶点数,应由用户定义
#define INFINITY    65535       //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
 
//邻接矩阵结构
typedefstruct
{
    VertexType vexs[MAXVEX];    //顶点表
    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵,可看作边
    intnumVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
 
//边集数组
#define MAXEDGE   100
typedefstruct
{
    intbegin;
    intend;
    intweight;
}Edge;
 
 
 
//定位
intlocates(Graph *g, charch)
{
    inti = 0;
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        if(g->vexs[i] == ch)
        {
            break;
        }
    }
    if(i >= g->numVertexes)
    {
        return-1;
    }
     
    returni;
}
 
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
voidCreateGraph(Graph *g)
{
    inti, j, k, w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
     
    #ifdef DEBUG
    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);
    #endif
 
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("请输入顶点%d:\n", i);
        g->vexs[i] = getchar();
        while(g->vexs[i] == '\n')
        {
            g->vexs[i] = getchar();
        }
    }
     
    #ifdef DEBUG
    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
    {
        printf("%c ", g->vexs[i]);
    }
    printf("\n");
    #endif
 
 
    for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
    {
        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
        {
            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
        }
    }
    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
    {
        charp, q;
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j和权值:\n");
         
        p = getchar();
        while(p == '\n')
        {
            p = getchar();
        }
        q = getchar();
        while(q == '\n')
        {
            q = getchar();
        }
        scanf("%d", &w);    
         
        intm = -1;
        intn = -1;
        m = locates(g, p);
        n = locates(g, q);
        if(n == -1 || m == -1)
        {
            fprintf(stderr,"there is no this vertex.\n");
            return;
        }
        //getchar();
        g->arc[m][n] = w;
        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图,矩阵对称
    }
}
 
//打印图
voidprintGraph(Graph g)
{
    inti, j;
    printf("构建的邻接矩阵如下所示.\n");
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
        {
            printf("%5d  ", g.arc[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
 
//prime算法最小生成树
voidMiniSpanTree_Prime(Graph g)
{
    intmin, i, j, k;
    intadjvex[MAXVEX];         //保存相关顶点下标
    intlowcost[MAXVEX];        //保存相关顶点间边的权值
    lowcost[0] = 0;             //初始化第一个权值为0,即v0加入生成树
 
    adjvex[0] = 0;              //初始化第一个顶点下标为0
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        //循环除下标为0外的全部顶点
        lowcost[i] = g.arc[0][i];   //将v0顶点与之有边的权值存入数组
        adjvex[i] = 0;              //初始化都为v0下标
    }
    for(i = 1; i < g.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY;             //初始化最小权值为无穷大
        j = 1;
        k = 0;
        while(j < g.numVertexes) //循环全部顶点
        {
            //如果权值不为0,且权值小于min
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];       //则让当前权值成为最小值
                k = j;                  //将当前最小值的下标存入k
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d)", adjvex[k], k); //打印当前顶点边中权值最小边
        lowcost[k] = 0;                 //将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务
 
        for(j = 1; j < g.numVertexes; j++)//循环所有顶点
        {
            if(lowcost[j] != 0 && g.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                //若下标为k的顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入的生成树权值
                lowcost[j] = g.arc[k][j];
                adjvex[j] = k;              //将下标为k的顶点存入adjvex
            }
        }
    }
    printf("\n");
}
 
//查找连线顶点的尾部
intFind(int*parent, intf)
{
    while(parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    returnf;
}
 
//直接插入排序
voidInsertSort(Edge edges[], intk)
{
    inti, j;
    Edge ss;
    for(i = 1; i <= k; i++)
    {
        if(edges[i].weight < edges[i - 1].weight)
        {
            ss = edges[i];
            for(j = i - 1; edges[j].weight > ss.weight; j--)
            {
                edges[j + 1] = edges[j];
            }
            edges[j + 1] = ss;
        }
    }
}
 
 
//将邻接矩阵转化为边集数组
voidConvert(Graph g, Edge edges[])
{
    inti;
    intj;
    intk;
     
    k = 0;
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < g.numVertexes; j++)
        {
            if(g.arc[i][j] < 65535)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = g.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    k--;
 
#ifdef DEBUG
    printf("k = %d\n", k);
    printf("边集数组排序前,如下所示.\n"); 
    printf("edges[]     beign       end     weight\n");
    for(i = 0; i < k; i++)
    {
        printf("%d", i);
        printf("        %d", edges[i].begin);
        printf("        %d", edges[i].end);
        printf("        %d", edges[i].weight);
        printf("\n");
    }
#endif
     
    //下面进行排序
    InsertSort(edges, k);
#ifdef DEBUG
    printf("边集数组排序后,如下所示.\n");
    printf("edges[]     beign       end     weight\n");
    for(i = 0; i < k; i++)
    {
        printf("%d", i);
        printf("        %d", edges[i].begin);
        printf("        %d", edges[i].end);
        printf("        %d", edges[i].weight);
        printf("\n");
    }
#endif
}
 
//克鲁斯卡尔算法实现
voidMiniSpanTree_Kruskal(Graph g)  
{
    inti, n, m;
    Edge edges[MAXEDGE];    //定义边集数组
    intparent[MAXVEX];     //定义一数组用来判断边与边是否形成环
     
    //此处为将邻接矩阵转化为边集数组edges并按权值由小到大排序
     
    Convert(g, edges);
    //
     
    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
    {
        parent[i] = 0;  //初始化数组值为0
    }
 
    for(i = 0; i < g.numEdges; i++)          //循环每一条边
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        m = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m)      //假如n与m不等,说明此边没有与现有生成树形成环路
        {
            parent[n] = m;  //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中
                            //表示此顶点已经在生成树集合中
            printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }
    printf("\n");
}
 
intmain(intargc, char**argv)
{
    Graph g;
     
    //邻接矩阵创建图
    CreateGraph(&g);
     
    //打印网图
    printGraph(g);
     
    //普里姆算法求最小生成树
    MiniSpanTree_Prime(g);
     
    //克鲁斯卡尔算法求最小生成树
    MiniSpanTree_Kruskal(g);   
     
    return0;
}


     以下图为例,进行相应的测试

    

    运行结果如下所示。

    

    

    

    

    

    上述运行过程是这样的:

    (1)输入顶点数、边数;

    (2)输入顶点,和边(依次为起点、终点、权值);

    (3)建立邻接矩阵,用来表示该网图;

    (4)进行普里姆算法进行求最小生成树;

    (5)进行克鲁斯卡尔进行求最小生成树;

            --根据已经建立的邻接矩阵求边集数组;

            --然后进行求最小生成树;    

    

    克鲁斯卡尔算法的Find函数由边数e决定,时间复杂度为O(loge),而外面有一个for循环e次,所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。《此处不包括由邻接矩阵转为边集数组

    

    对比两个算法,克鲁斯尔算法主要是针对边来展开,边数少时效率会非常高,所以对于稀疏图有很大的优势;而普里姆算法对于稠密图,即边数非常多的情况会更好一些。


    

    暂时弄懂了这两个算法,算是重新复习了一下,以后经常看看,不能再忘记了。



    参考:《大话数据结构》、《维基百科


posted @ 2013-10-01 19:28  小竹zz  阅读(432)  评论(0编辑  收藏  举报