数据结构之 最短路径

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
    Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。
    
1、算法思想
    令G = （V，E）为一个带权有向图，把图中的顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。
 
2、算法步骤
    （1）初始化时，S只含有源节点；
    （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；
    （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；
    （4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。
    具体图例与算法执行步骤：（就从A开始，到各节点的最短路径）。
     
    具体执行步骤如下图所示。
    
    PS：图片右下角是原作者的博客地址。
    
3、算法具体实现
     算法的具体实现如下所示。
  1. #include "stdio.h" 
  2. #include "stdlib.h" 
  3. #include "io.h" 
  4. #include "math.h" 
  5. #include "time.h"

  7. #define OK 1
  8. #define ERROR 0
  9. #define TRUE 1
  10. #define FALSE 0

  12. #define MAXEDgE 20
  13. #define MAXVEX 20
  14. #define INFINITY 65535

  16. typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ 


  19. typedef struct
  20. {
  21.     int vexs[MAXVEX];
  22.     int arc[MAXVEX][MAXVEX];
  23.     int numVertexes, numEdges;
  24. }Mgraph;

  26. typedef int Patharc[MAXVEX];            /* 用于存储最短路径下标的数组 */
  27. typedef int ShortPathTable[MAXVEX];        /* 用于存储到各点最短路径的权值和 */


  30. void CreateMgraph(Mgraph *g)
  31. {
  32.     int i, j;

  34.     /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
  35.     g->numEdges=16;
  36.     g->numVertexes=9;

  38.     for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
  39.     {
  40.         g->vexs[i]=i;
  41.     }

  43.     for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
  44.     {
  45.         for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++)
  46.         {
  47.             if (i==j)
  48.                 g->arc[i][j]=0;
  49.             else
  50.                 g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY;
  51.         }
  52.     }

  54.     g->arc[0][1]=1;
  55.     g->arc[0][2]=5; 
  56.     g->arc[1][2]=3; 
  57.     g->arc[1][3]=7; 
  58.     g->arc[1][4]=5; 

  60.     g->arc[2][4]=1; 
  61.     g->arc[2][5]=7; 
  62.     g->arc[3][4]=2; 
  63.     g->arc[3][6]=3; 
  64.     g->arc[4][5]=3;

  66.     g->arc[4][6]=6;
  67.     g->arc[4][7]=9; 
  68.     g->arc[5][7]=5; 
  69.     g->arc[6][7]=2; 
  70.     g->arc[6][8]=7;

  72.     g->arc[7][8]=4;


  75.     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
  76.     {
  77.         for(j = i; j < g->numVertexes; j++)
  78.         {
  79.             g->arc[j][i] =g->arc[i][j];
  80.         }
  81.     }

  83. }

  85. /* Dijkstra算法，求有向网g的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */ 
  86. /* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */ 
  87. void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
  88. { 
  89.     int v,w,k,min; 
  90.     int final[MAXVEX];                    /* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */
  91.     
  92.     /* 初始化数据 */
  93.     for(v=0; v<g.numVertexes; v++)        
  94.     { 
  95.         final[v] = 0;                    /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */
  96.         (*D)[v] = g.arc[v0][v];            /* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */
  97.         (*P)[v] = 0;                    /* 初始化路径数组P为0 */ 
  98.     }

  100.     (*D)[v0] = 0;                        /* v0至v0路径为0 */ 
  101.     final[v0] = 1;                        /* v0至v0不需要求路径 */ 
  102.     
  103.     /* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */ 
  104.     for(v=1; v<g.numVertexes; v++) 
  105.     {
  106.         min=INFINITY;                    /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */ 
  107.         for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */ 
  108.         { 
  109.             if(!final[w] && (*D)[w]<min) 
  110.             { 
  111.                 k=w; 
  112.                 min = (*D)[w];            /* w顶点离v0顶点更近 */ 
  113.             } 
  114.         } 
  115.         final[k] = 1;                    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */

  117.         /* 修正当前最短路径及距离 */
  118.         for(w=0; w<g.numVertexes; w++) 
  119.         {
  120.             /* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
  121.             if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w])) 
  122.             { 
  123.                 /* 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */
  124.                 (*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改当前路径长度 */ 
  125.                 (*P)[w]=k; 
  126.             } 
  127.         } 
  128.     }
  129. }

  131. int main(void)
  132. { 
  133.     int i,j,v0;
  134.     Mgraph g; 
  135.     Patharc P; 
  136.     ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */ 
  137.     v0=0;
  138.     
  139.     CreateMgraph(&g);
  140.     
  141.     ShortestPath_Dijkstra(g, v0, &P, &D); 

  143.     printf("最短路径倒序如下:\n"); 
  144.     for(i=1;i<g.numVertexes;++i) 
  145.     { 
  146.         printf("v%d - v%d : ",v0,i);
  147.         j=i;
  148.         while(P[j]!=0)
  149.         {
  150.             printf("%d ",P[j]);
  151.             j=P[j];
  152.         }
  153.         printf("\n");
  154.     } 
  155.     printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n"); 
  156.     for(i=1;i<g.numVertexes;++i) 
  157.         printf("v%d - v%d : %d \n",g.vexs[0],g.vexs[i],D[i]); 
  158.     return 0;
  159. }
posted @ 2013-10-01 20:53  小竹zz  阅读(336)  评论(0)  编辑  收藏  举报