素质系列(一)-数学魅力(三):数学归纳法
假设P(n)是一个命题,比如说P(n)="n(n+3)是一个偶数。"那么如果我们要证明P(n)对所有的n都成立的一个重要方法是:
1)证明p(1)成立
2)给出一个p(1),p(2)...p(n)都为真,则p(n+1)也为真的证明。
现在有一个例子如下:
1 = 1 * 1
1 + (2 * 2 - 1) = 2 * 2
1 + 2 + (2 * 3 - 1) = 3 * 3
....
1 + ... +(2 * n - 1) = n * n
好的,那么p(n) = "1 + ... +(2 * n - 1) = n * n"
1) p(1) = "1 = 1 * 1 " 显然是正确的。
2) 现在我们要证明如果p(1),p(2)...p(n)都为真,则p(n+1)也为真
由于p(n)为真,于是有 1 + ... +(2 * n - 1) = n * n
在等式的两边都加上(2n + 1)结果是
1 + ... +(2 * n - 1) + (2n + 1) = n * n + 2n + 1
即(1 + ... +(2 * n - 1) ) + (2n + 1) = n * n + 2n + 1
这显然是成立的.