RNN 循环神经网络-BF 求导过程
RNN 循环神经网络-BF 求导过程
所有的RNN都具有一种重复神经网络模块的链式形式。在标准RNN中，这个重复的结构模块只有一个非常简单的结构，例如一个tanh层
在时间视角上的显示为下图：
求导BP 更新参数值
整体误差E等于每个时刻E_t的误差之和
整体损失对U/V/W进行求偏导
\[ΔU=\frac{\partial E}{\partial U}=\sum_t \frac{\partial e_t}{\partial U}
\]
\[ΔV=\frac{\partial E}{\partial V}=\sum_t \frac{\partial e_t}{\partial V}
\]
\[ΔW=\frac{\partial E}{\partial W}=\sum_t \frac{\partial e_t}{\partial W}
\]
ΔU 求导：对于Ot=g(V*St) 求ΔU是简单的，St是输出值已知，不依赖之前的状态，可以直接求导每一个时刻的 ΔW 求导：Wt 不仅影响Et, 而且也会印象到Et+1(因为在计算Et+1的使用包含St的值),并且Wt-1 也会印象到Et+1.
例如t+1时刻的误差Et+1,我们去计算w1,w2...wt+1的梯度值
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t+1}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}} \frac{\partial h_{t+1}}{\partial W^{t+1}}
\]
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}} \frac{\partial h_{t+1}}{\partial h^{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial W^{t}}
\]
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t-1}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}} \frac{\partial h_{t+1}}{\partial h^{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial h^{t-1}}\frac{\partial h_{t-1}}{\partial w^{t-1}}
......
\]
因为RNN中的参数值是共享的 所以Wt=Wt-1=Wt-2 ，同理其他参数也是一样的，所以计算上述公式时就可以抹去标签并求和了。
因为有符合函数求导公式
\[f(x)=g(x)h(x)
\text{求导得}
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}*h+\frac{\partial h}{\partial x}*g
\]
\[\text{原函数：} h_{t+1}=f(Ux+W_{t+1}h_t)
\]
其中Ux不包含W,可以不用考虑，当做常数，f 是一个整体转化 可以忽略成 Ht+1=Ht*Wt+1其中包含两部分Ht和Wt+1，依照上面的两个函数求导法制。
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t+1}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}} *h^t
\]
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}} *W*h^{t-1}
\]
\[\frac{\partial e_{t+1}}{\partial W^{t-1}}= \frac{\partial e_{t+1}}{\partial h^{t+1}}*W*W*h^{t-2}
\]
将上述式子求和得
\[\frac{\partial e_t}{\partial W}= \sum_{k=1}^t\frac{\partial e_t}{\partial h^t}\prod_{i=k}^t\frac{\partial h_i}{\partial h^{i-1}}\frac{\partial ^+ h_k}{\partial W}
\]
其中下式 表示不进行链式求导，将其他参数都看做常数，直接进行求导。
\[\frac{\partial ^+ h_k}{\partial W}
\]
