[Noip 2009 普及组 T4] [Luogu P1070] 道路游戏

一道很迷的\(dp\)。

感谢大爱无疆的sy

开始的时候采用的二维状态但是并不对）

然后把状态改成一维\(AC\)

\(Solution\)：

状态：开始想的是\(f[i][j]\),表示到达\(i\)时间时在\(j\)点处的最多金币数。

转移方程设置为：\(f[i][j]=max\{f[i-1][j-k]+sum-val[j-k]\}\)其中\(sum\)表示从\(j-k\)走到\(j\)所赚的金币数

但这样是不对的，因为题目中：

也就是上一个机器人消失的地方并不一定要买下一个机器人，而是可以换另一个地方买。

如果硬要设计地点的话，应该将\(f[i-1][j-k]\)变为\(max\{f[i-1][1,2,……n]\}\)

这样时间复杂度是\(O(n^4)\)的，想过题可能在想\(peach\)

经过思考，我们发现地点是没什么用的，所以将第二维去掉，\(f[i]\)表示时间为\(i\)时能获得的最大金币数；

转移方程：\(f[i]=max\{f[i-k]+sum-val[d],d=(j-k)\%n+n\}\)

表示在\(d\)点购买的机器人从\(d\)点走到\(j\)点赚取的金币数，枚举\(j、d\),取得\(f[i]\)时的最大值

\(sum\)表示从\(d\)走到\(j\)获得的金币数，最简单的方法，暴力求解：

int pay(int a,int b,int x,int y) {
	int rtn=0,j=a;
	for(int i=x+1;i<=y;i++) {
		rtn+=cost[j][i];
		j++;
		if(j>n) j=1;
	}
	return rtn;
}
//表示从a走到b，时间从x变成y所获得的金币数

\(Code\):

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read() {
	int ans=0;
	char last=' ',ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	if(last=='-') ans=-ans;
	return ans;
}

int n,m,p; 
int cost[1010][1010];
int val[1010];
int f[1010];

int pay(int a,int b,int x,int y) {
	int rtn=0,j=a;
	for(int i=x+1;i<=y;i++) {
		rtn+=cost[j][i];
		j++;
		if(j>n) j=1;
	}
	return rtn;
}

int main() {
	n=read();
	m=read();
	p=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) 
		for(int j=1;j<=m;++j) 
			cost[i][j]=read(); 
	for(int i=1;i<=n;++i) 
		val[i]=read();
	memset(f,0x9f,sizeof(f));
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;++i) { // time i
		for(int j=1;j<=n;++j) { // node j
			for(int k=1;k<=p&&k<=i;++k) { // k
				int d=j-k; 
				if(d<=0) 
					d=d%n+n;
				int sum=pay(d,j,i-k,i);
				f[i]=max(f[i],f[i-k]+sum-val[d]);
			}
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

这样会\(TLE\)，求\(pay\)实在是太慢了。

因为\(k\)是从小到大枚举的，也就是从只从\(j\)往后退一步，到往后退\(p\)步，赚取的金币数刚好是可以累加的。

所以定义一个\(sum=0\)每次枚举\(k\)时，\(sum+=cost[j-k][i-k+1]\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read() {
	int ans=0;
	char last=' ',ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0') last=ch,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	if(last=='-') ans=-ans;
	return ans;
}

int n,m,p; 
int cost[1010][1010];
int val[1010];
int f[1010];

int main() {
	n=read();
	m=read();
	p=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=m;j++) 
			cost[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		val[i]=read();
	memset(f,0x9f,sizeof(f));
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) { // time i
		for(int j=1;j<=n;j++) { // node j
			int sum=0;
			for(int k=1;k<=p&&k<=i;k++) { // zoule k
				int d=j-k; 
				if(d<=0) 
					d=d%n+n;
				sum+=cost[d][i-k+1];
				f[i]=max(f[i],f[i-k]+sum-val[d]);
			}
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}