【暑假培训1】【知识】7.15
数据结构
- 下面是天天见面的:
- 栈、队列
- 堆
- 并查集
- 树状数组
- 线段树
- 平衡树 (splay)
- 下面是不常见的:
- 主席树
- 树链剖分
- 树套树
- 下面是清北学堂课程表里的:
- ST表
- LCA
- HASH
1.堆
堆的话是之前就学过的东西,也写过博客,可以带过:
【堆】好多好多基础知识 【堆】【洛谷例题】p1090 p1334 p1177
STL queu中有priority_queue,默认是一个大根堆,关于如何修改priority_queu的排序顺序,可以参见:【细小碎的oi小知识点总结贴】不定时更新(显然也没人看qwq)
2.LCA:
基本用途:求树上最短路
求LCA的朴素算法:
首先处理深度;
然后:
- 如果deep(A)<deep(B) 交换AB
- 把A向上抬升,到B的深度;
- A和B同时上调,直到A=B;
复杂度O(deep(tree))
对于随机构造的树,可能这种算法还可以;但是当数据别出心裁构造的伐,如果退化成一条链,显然就凉凉了~;
所以我们考虑优化:
既然一个个跳不行,我们可不可以一次跳多个?
显然可以!
但是如果单纯的枚举一次跳多少个的伐,当数据够大时,我们枚举的范围可能是上百万的,也不够优;
想到,任何一个数都可以表示为二进制,也就表示每个数都可以拆成若干个2的乘方相加;
令p[x][i]表示x的2^i的祖先是谁,那么我们可以知道p[x][0]表示x的父亲,通过此可以想到递推方程: p[x][i]=p[p[x][i-1]][i-1];x的2^i祖先,等于x的2^(i-1)的祖先的2^(i-1)的祖先:
基本流程与上面相同,但是我们不再是一个一个的往上跳。从乘方最大的的开始枚举,如果跳上去以后父亲不同就往上跳,父亲相同不跳:
A和B的祖先开始是不一样的,从LCA开始,以上都一样,但是我们无法确定LCA,但是我们可以确定最后一个不一样的;
伪代码:
for i=16~0 if(p[A][i]!=p[B][i]) A=p[A][i];B=p[B][i];
LCA一般用于解决一类可差分的问题,比如求AB之间的最短路径:求出A到根的路径,B到根的路径,减去两倍根到LCA的路径;
3.ST表:
用于求解没有修改的区间最大值问题
mx[i][j]表示从i~i+2j-1的最大值
求一个区间[l,r]的最大值,可以拆分为两部分:
首先一个区间[l,r],求出区间长度:k=l-r;
然后我们记录p=log2k;
求这个区间的最大值,即为:max(mx[l][p],mx[r-2p+1][p]);
关于mx数组的求法:递推:mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[i+2j-1][j-1]);
举个栗子:
[19,46]
k=46-19=28;p=16;ans=max(mx[19][4],mx[31][4])//可能写炸了将就着;
4.Hash:
Hash(字符串)=>int
Hash将一个字符串转换为一个int;
Hash是允许冲突的,但是我们要尽量避免冲突;
设计Hash:
1.随便取一个p,把字符串当做p进制数(建议取质数,并且是大于字符串大小的质数)
2.取字符的ASCII码*p^i(i表示此字符在此字符串中是第几位[from right to left]),然后计算一段字符串的每个字符,把值相加,就是这一段字符串的Hash值;
3.显然你看这个数会很大,可能会炸。我们可以取一个大质数mod用来取模,当然也可以用Unsigned long long强势自然溢出;
具体的处理:
求字符串,每个前缀的哈希值;
Hi:1~i的Hash值;
Hi=Hi-1*p+Si
Hash(i,j)=Hj-Hi*pj-i+1
5.并查集:
令fa[x]表示x的父亲;树根的父亲等于本身;
查询A和B在不在一个集合中:找到A和B的根,比较是否相同;
如何将两个集合合并:
找A代表元AA,B代表元BB,令fa[AA]=BB;
路径压缩:直接指向代表元
6.树状数组:
支持单点修改,区间查询;其实也可以区间修改,单点查询(利用差分)
所求所有问题,必须存在逆元?
主要应用:
1. 线段树常数过大时
2. 线段树功能过多时
可以在logn的时间内改变一个数,logn的时间求前缀和:
然后只讲代码实现,具体原理↑:
短短几行代码:
int lowbit(int x){ return x&(-x); } void modify(int x,int y){ // add y to a[x] for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y; } int query(int x){ // sum of a[1]...a[x] int ret=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ret+=c[i]; return ret; } int query(int l,int r){ return query(r)-query(l-1); }
7.线段树(抽象线段二叉树;):
支持区间修改,区间查询;
主要应用:一类区间修改区间查询的问题;
Sum线段树:
先是单点修改:
- 确认点的位置
- 更新树的权值
区间查询:
任何一条线段,都可以被logn条线段覆盖;
递归看关系;
从最大的开始看,然后有关系就继续往下递归直到被完全覆盖,返回,统计进答案;
线段树的节点个数2n级别的,*4防止溢出写炸;
前置:
struct Node{ int l,r; int sum; int tag; }t[N<<2]; void pushup(int rt){ t[rt].sum=t[rt<<1].sum+t[rt<<1|1].sum; }
建树:
void build(int rt,int l,int r){ t[rt].l=l; t[rt].r=r; if(l==r){ t[rt].sum=a[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; build(rt<<1,l,mid); build(rt<<1|1,mid+1,r); pushup(rt); }
单点修改a[p]=c;
void modify(int rt,int p,int c){ if(t[rt].l==t[rt].r){ t[rt].sum=c; return; } pushdown(rt); int mid=(t[rt].l+t[rt].r)>>1; if(p<=mid) modify(rt<<1,p,c); else modify(rt<<1|1,p,c); pushup(rt); }
区间查询:
int query(int rt,int l,int r){ if(l<=t[rt].l&&t[rt].r<=r){ return t[rt].sum; } pushdown(rt); int ret=0; int mid=(t[rt].l+t[rt].r)>>1; if(l<=mid) ret+=query(rt<<1,l,r); if(mid<r) ret+=query(rt<<1|1,l,r); return ret; }
区间修改:
懒标记:
标记这一整段线段的每一个值,都加一个特定的数;
懒惰的:先放在哪里,在没有必要下方时,就不下放:标记下放:pushdown;
Pushdown:
将此点的标记下放给左右儿子,然后自己的标记清0;
然后同时维护左右节点的区间和;
碰到这个节点就下放
void add(int rt,int l,int r,int c){ if(l<=t[rt].l&&t[rt].r<=r){ t[rt].tag+=c; t[rt].sum+=c*(t[rt].r-t[rt].l+1); return; } pushdown(rt); int mid=(t[rt].l+t[rt].r)>>1; if(l<=mid) add(rt<<1,l,r,c); if(mid<r) add(rt<<1|1,l,r,c); pushup(rt); }
总结啦:
- 堆:最大值插入、删除、查询
- ST表:区间最大值查询
- 树状数组:单点修改,前缀查询
- 线段树:区间修改,区间查询