【堆】好多好多基础知识

（zbl）

part1：基础知识

• 堆的定义：

它是一种数据结构，可以看作是一棵完全二叉树（没有写二叉树就来写堆小声bb）

一般我们用数组来存堆

 

用数组存=>

 

• 堆的性质：

 一个长度为len的数组A，设它的结点个数为size，size<=len，辣么我们用A[i]储存二叉树中编号为i的结点值。树根为A[1]，那么对于一个编号为i的结点，我们可以知道它的父结点(father(i))为i/2（请注意为整除），两个子结点分别为：左(left(i))：2i，右(right(i)):2i+1；

此外，堆具有一个完全二叉树不具备的性质：

大根堆：对于除根以外的每个结点i，A[father(i)]>=A[i]；

小根堆：对于除根以外的每个结点i，A[father(i)]<=A[i]；

• 操作一个堆：

• 向堆中加入一个元素(put)：

以小根堆为例：（摘自ybt）

(1)在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点；

(2)比较当前结点和它的父结点的大小

if(A[i]<A[father(i)])swap(A[i],A[father(i)])并把父结点置为当前结点；转(2)

if(A[i]>=A[father(i)])；转(3)

(3)结束；

手动码：

void put(int d){//小根堆
    int now,next;
    heap[++heap_size]=d;//爸新加入的元素放到最后
    now=heap_size;//记录新加入的值的位置
    while(now>1){//保证没有比出堆取
        next=now/2;//父结点
        if(heap[now]>=heap[next])break;//如果满足小根堆的条件，直接弹出
        swap(heap[now],heap[next]);//否则交换父结点与d
        now=next;//标记d现在的位置
    }
}

（据说algorithm里有函数，还没研究）

• 取出并删除一个元素(get)(取堆顶)：

(1)取出堆的根结点的值；

(2)把堆的最后一个结点放到根的位置上，把根覆盖掉。堆长-1；

(3)把根结点置为当前父结点pa；

(4)如果pa无儿子（fa>len/2），则转(6)，否则，把pa的两（或一）个儿子中最小的一个置为当前的子结点son；

(5)比较pa与son的值：

如果pa的值小于或等于son，则转(6);否则，交换这两个结点的值，把pa指向son，转(4);

(6)结束；

手动码：

void get(){
    int now,next,res;
    res=heap[1];
    heap[1]=heap[heap_size--];
    now=1;
    while(now*2<=heap_size){
        next=now*2;
        if(next<heap_size&&heap[next+1]<heap[next])next++;
        if(heap[now]<=heap[next])break;
        swap(heap[now],heap[next]);
        now=next;
    }
    return res;
}

 part2：一个例题

洛谷p3378 【模板】堆

主要就是一些堆的基本操作，插入和删除元素，基本和上面一样qwq

直接代码奉上：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,a,b;
int heap[1000010],heap_size;
int get(){
    int now,next,res;
    res=heap[1];
    heap[1]=heap[heap_size--];
    now=1;
    while(now*2<=heap_size){
        next=now*2;
        if(next<heap_size&&heap[next+1]<heap[next])next++;
        if(heap[now]<=heap[next])break;
        swap(heap[now],heap[next]);
        now=next;
    }
    return res;
}
void put(int d){
    int now,next;
    heap[++heap_size]=d;
    now=heap_size;
    while(now>1){
        next=now/2;
        if(heap[now]>=heap[next])break;
        swap(heap[now],heap[next]);
        now=next;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a);
        if(a==1){
            scanf("%d",&b);
            put(b);
            continue;
        }
        if(a==2){
            printf("%d\n",heap[1]);
            continue;
        }
        if(a==3){
            get();
            continue;
        }
    }
    return 0;
}