CRC 的简介和应用（转载）
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CRC，Cyclic Redundancy Check，中文称为“循环冗余校验”。
它的应用很广，一般常见的说法都是用于通信。其实，在压缩、解压文件的时候，也普遍用到了它。
另外，单片机系统在掉电时，一般都要把当前有用的状态信息，保存在 EEPROM 中，为了保证信息的正确，也可以用 CRC 来检验。
1．CRC 的作用
还是用通信来说明 CRC 的作用。
由于线路上的干扰，通信时可能会有错码，那么当接收方收到了信息，怎么来确认这些信息就是正确的呢？
为了确认通信的正确性，发送方还要在信息之后，再发送一组“校验码”，这些校验码，是用前面的信息数据算出来的。
接收方收到信息数据和校验码之后，再按照同样的算法来计算，如果结果符合规则，就认为这次数据传输是正确的。
2．CRC 的计算规则
设信息数据 M(x)有 k 位，后面的 CRC 校验码为 r 位，那么总共发送的位数则为 n = k + r 位，因此，这种编码又叫(n, k)码。
利用 k 位信息码，求取 r 位 CRC 码时，需要先确定一个“生成多项式 G(x)”。
G(x) 也是一个二进制数，要求最高位和最低位都是 1 才行。
在不同的标准里面，G(x)的数值是不同的。常见的 G(x) 如下：
CRC-CCITT: G(x) = X16 + X12 + X5 + 1 = 1 0001 0000 0010 0001 = 1 1021H
CRC-16: G(x) = X16 + X15 + X2 + 1 = 1 1000 0000 0000 0101 = 1 8005H
CRC-32: G(x) = X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X1+1
= 1 0000 0100 1100 0001 0001 1101 1011 0111 = 04C1 1DB7H
选定了 G(x) 之后，就可以用信息数据 M(x) 除以 G(x)，得出的余数 R(x) 就是 r 位的 CRC 码。
注意，这里使用除法是“模2除”，其实就是“异或”算法。
把 M(x) 和 r 位的 CRC 码合并在一起(即(n, k)码)，再除以 G(x)，得出的余数就是 0。
如果这组(n, k)码中含有错误，再除以 G(x)，得出的余数就不是 0。
根据余数的状态，就可以判定传送的数据信息是否正确。
3．CRC 的算法举例
例：已知信息码为 M(x) = 1100，生成多项式 G(x) = x3 + x + 1，求 CRC 码，及(n, k)码。
解：
根据 G(x) = x3 + x + 1，可知除数为 1011；余数(CRC 码)应为 3 位二进制数。
那么，先在 M(x) 后面填写上 3 个 0，即为：1100 000，再用它“模2除” 1011。
现在填写的这些 0，将来是要用 CRC 码来填充，组成的(n, k)码的。这个步骤也可以写成：
CRC 码 = M(x) * x3 / G(x)
乘以 x3，就代表把 M(x) 左移 3 位，后面填上 3 个 0。 /，代表“模2除”。
计算的竖式如下图的左式：
在此得出的余数 R(x) = 010 即为 CRC 码。
那么，(n, k)码 = M(x) * x3 + R(x) = 1100 000 + 010 = 1100 010。
4．CRC 的验证
还是利用上面的例题来说明验证的方法。
当收到的代码是：1100 010，按照同样的方法求余数，竖式如上图中的右式。
余数为 0，就说明数据传输是正确的。
5．用 CRC 的检错
当有一位数是错误的，模2除的余数，就不是 0 了，可见下面的竖式：
可以看出，发生错误的位置不同，余数也不同。
使用不同的信息码 M(x) 来实验，能够看出，错误位置和余数的关系是固定的，不会因为信息码的不同而变化。
如果知道了错误的位置，是不是就可以纠错呢？不可，因为难以确定错误是不是仅仅有一位，错了更多的位，余数并不会对此有所表现。
因此，有人说利用 CRC 的方法可以纠错，这是不对的，CRC 只能用于检错，不能用于纠错。
CRC 检错的能力和生成多项式的位数有关，位数越多，检错的概率越高。
6．实用的 CRC 计算步骤
前面介绍的 CRC 算法，仅仅用于说明基本概念，实用时的计算，规模要大的多。
最常用的形式是：数据是 8 位数，CRC 校验码是 16 位数。
下面就详细描述一下从一个字节数据求出 16 位数 CRC 码的过程，从而得出编程的思路。
设 8 位的信息数据是 0x4A，G(x) 选用 CRC-CCITT，即 1 0001 0000 0010 0001 = 1 1021H，求 16 位的 CRC 竖式如下：
从竖式的计算过程中可以看出以下的特点：
(1)异或运算进行了多次，是从数据的高位到低位，依次判断进行的；
(2)信息数据中，有一个 1，就进行一次异或 11021H、是 0 就移位，判断下一位；
信息数据中，只有 3 个 1，但是有一次的异或，在信息数据的范围中，异或出来一个 1，
对于这个 1，也要进行一次异或 11021H 的运算，所以共进行了 4 次异或；
(3)异或后保留下来的余数，实际上仅仅是用 1021H 异或的结果；
(4)16 个 0，是从左边到右边，逐个参加运算。
7．实用的 CRC 汇编程序
看懂了上述的步骤，编写程序就是轻而易举的了。下面是用 51 单片机的汇编语言编写的 CRC 程序。
ORG 0000H
MOV R2, P2 ;从P2输入数据，假设是4A
CALL CRC ;求取CRC
MOV P0, R2 ;输出CRC的高8位 E9
MOV P1, R3 ;输出CRC的低8位 8E
NOP
SJMP $
;------------------------------------
CRC:
MOV R3, #0 ;CRC低8位
MOV R4, #8
C1: CLR C
MOV A, R3 ;R2R3左移一位
RLC A
MOV R3, A
MOV A, R2
RLC A
MOV R2, A
JNC C_NEXT ;移出位为0就转移
XRL A, #10H ;为1就异或1021H
MOV R2, A
MOV A, R3
XRL A, #21H
MOV R3, A
C_NEXT:
DJNZ R4, C1
RET
;------------------------------------
END
呵呵，上述程序，仅仅用了 30 字节，执行时间平均为 114 个机器周期。
8．求取 CRC 的 C 程序
用 C 语言编程就可以规模大一些，借助计算机的屏幕，可以显示更多的内容。
下面就是显示数据00~FF 的全部 CRC 代码的程序。
//===============================================
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void main(void)
{
unsigned char i;
unsigned int j, crc;
//--------------------------------------下面循环求出CRC
for(j = 0; j < 256; j++) { //8位数据00~FF
crc = 0; //每个数据的16位的CRC
for(i = 0x80; i != 0; i >>= 1) { //对8位数据从高位到低位进行判断
if((crc & 0x8000) != 0) {
crc <<= 1; crc ^= 0x1021;
}
else crc = crc << 1;
if((j & i) != 0) crc ^= 0x1021;
}
//--------------------------------------计算完毕，下面进行显示
if (j % 4 == 0) printf("\n");
if (j % 32 == 0) system("pause");
printf("0x%02X: 0x%04x, ", j, crc & 0xFFFF);
}
}
//===============================================
上述程序执行后，显示的结果如下：
0x00: 0x0000, 0x01: 0x1021, 0x02: 0x2042, 0x03: 0x3063,
0x04: 0x4084, 0x05: 0x50a5, 0x06: 0x60c6, 0x07: 0x70e7,
0x08: 0x8108, 0x09: 0x9129, 0x0A: 0xa14a, 0x0B: 0xb16b,
0x0C: 0xc18c, 0x0D: 0xd1ad, 0x0E: 0xe1ce, 0x0F: 0xf1ef,
0x10: 0x1231, 0x11: 0x0210, 0x12: 0x3273, 0x13: 0x2252,
0x14: 0x52b5, 0x15: 0x4294, 0x16: 0x72f7, 0x17: 0x62d6,
0x18: 0x9339, 0x19: 0x8318, 0x1A: 0xb37b, 0x1B: 0xa35a,
0x1C: 0xd3bd, 0x1D: 0xc39c, 0x1E: 0xf3ff, 0x1F: 0xe3de,
0x20: 0x2462, 0x21: 0x3443, 0x22: 0x0420, 0x23: 0x1401,
0x24: 0x64e6, 0x25: 0x74c7, 0x26: 0x44a4, 0x27: 0x5485,
0x28: 0xa56a, 0x29: 0xb54b, 0x2A: 0x8528, 0x2B: 0x9509,
0x2C: 0xe5ee, 0x2D: 0xf5cf, 0x2E: 0xc5ac, 0x2F: 0xd58d,
0x30: 0x3653, 0x31: 0x2672, 0x32: 0x1611, 0x33: 0x0630,
0x34: 0x76d7, 0x35: 0x66f6, 0x36: 0x5695, 0x37: 0x46b4,
0x38: 0xb75b, 0x39: 0xa77a, 0x3A: 0x9719, 0x3B: 0x8738,
0x3C: 0xf7df, 0x3D: 0xe7fe, 0x3E: 0xd79d, 0x3F: 0xc7bc,
0x40: 0x48c4, 0x41: 0x58e5, 0x42: 0x6886, 0x43: 0x78a7,
0x44: 0x0840, 0x45: 0x1861, 0x46: 0x2802, 0x47: 0x3823,
0x48: 0xc9cc, 0x49: 0xd9ed, 0x4A: 0xe98e, 0x4B: 0xf9af,
0x4C: 0x8948, 0x4D: 0x9969, 0x4E: 0xa90a, 0x4F: 0xb92b,
0x50: 0x5af5, 0x51: 0x4ad4, 0x52: 0x7ab7, 0x53: 0x6a96,
0x54: 0x1a71, 0x55: 0x0a50, 0x56: 0x3a33, 0x57: 0x2a12,
0x58: 0xdbfd, 0x59: 0xcbdc, 0x5A: 0xfbbf, 0x5B: 0xeb9e,
0x5C: 0x9b79, 0x5D: 0x8b58, 0x5E: 0xbb3b, 0x5F: 0xab1a,
0x60: 0x6ca6, 0x61: 0x7c87, 0x62: 0x4ce4, 0x63: 0x5cc5,
0x64: 0x2c22, 0x65: 0x3c03, 0x66: 0x0c60, 0x67: 0x1c41,
0x68: 0xedae, 0x69: 0xfd8f, 0x6A: 0xcdec, 0x6B: 0xddcd,
0x6C: 0xad2a, 0x6D: 0xbd0b, 0x6E: 0x8d68, 0x6F: 0x9d49,
0x70: 0x7e97, 0x71: 0x6eb6, 0x72: 0x5ed5, 0x73: 0x4ef4,
0x74: 0x3e13, 0x75: 0x2e32, 0x76: 0x1e51, 0x77: 0x0e70,
0x78: 0xff9f, 0x79: 0xefbe, 0x7A: 0xdfdd, 0x7B: 0xcffc,
0x7C: 0xbf1b, 0x7D: 0xaf3a, 0x7E: 0x9f59, 0x7F: 0x8f78,
0x80: 0x9188, 0x81: 0x81a9, 0x82: 0xb1ca, 0x83: 0xa1eb,
0x84: 0xd10c, 0x85: 0xc12d, 0x86: 0xf14e, 0x87: 0xe16f,
0x88: 0x1080, 0x89: 0x00a1, 0x8A: 0x30c2, 0x8B: 0x20e3,
0x8C: 0x5004, 0x8D: 0x4025, 0x8E: 0x7046, 0x8F: 0x6067,
0x90: 0x83b9, 0x91: 0x9398, 0x92: 0xa3fb, 0x93: 0xb3da,
0x94: 0xc33d, 0x95: 0xd31c, 0x96: 0xe37f, 0x97: 0xf35e,
0x98: 0x02b1, 0x99: 0x1290, 0x9A: 0x22f3, 0x9B: 0x32d2,
0x9C: 0x4235, 0x9D: 0x5214, 0x9E: 0x6277, 0x9F: 0x7256,
0xA0: 0xb5ea, 0xA1: 0xa5cb, 0xA2: 0x95a8, 0xA3: 0x8589,
0xA4: 0xf56e, 0xA5: 0xe54f, 0xA6: 0xd52c, 0xA7: 0xc50d,
0xA8: 0x34e2, 0xA9: 0x24c3, 0xAA: 0x14a0, 0xAB: 0x0481,
0xAC: 0x7466, 0xAD: 0x6447, 0xAE: 0x5424, 0xAF: 0x4405,
0xB0: 0xa7db, 0xB1: 0xb7fa, 0xB2: 0x8799, 0xB3: 0x97b8,
0xB4: 0xe75f, 0xB5: 0xf77e, 0xB6: 0xc71d, 0xB7: 0xd73c,
0xB8: 0x26d3, 0xB9: 0x36f2, 0xBA: 0x0691, 0xBB: 0x16b0,
0xBC: 0x6657, 0xBD: 0x7676, 0xBE: 0x4615, 0xBF: 0x5634,
0xC0: 0xd94c, 0xC1: 0xc96d, 0xC2: 0xf90e, 0xC3: 0xe92f,
0xC4: 0x99c8, 0xC5: 0x89e9, 0xC6: 0xb98a, 0xC7: 0xa9ab,
0xC8: 0x5844, 0xC9: 0x4865, 0xCA: 0x7806, 0xCB: 0x6827,
0xCC: 0x18c0, 0xCD: 0x08e1, 0xCE: 0x3882, 0xCF: 0x28a3,
0xD0: 0xcb7d, 0xD1: 0xdb5c, 0xD2: 0xeb3f, 0xD3: 0xfb1e,
0xD4: 0x8bf9, 0xD5: 0x9bd8, 0xD6: 0xabbb, 0xD7: 0xbb9a,
0xD8: 0x4a75, 0xD9: 0x5a54, 0xDA: 0x6a37, 0xDB: 0x7a16,
0xDC: 0x0af1, 0xDD: 0x1ad0, 0xDE: 0x2ab3, 0xDF: 0x3a92,
0xE0: 0xfd2e, 0xE1: 0xed0f, 0xE2: 0xdd6c, 0xE3: 0xcd4d,
0xE4: 0xbdaa, 0xE5: 0xad8b, 0xE6: 0x9de8, 0xE7: 0x8dc9,
0xE8: 0x7c26, 0xE9: 0x6c07, 0xEA: 0x5c64, 0xEB: 0x4c45,
0xEC: 0x3ca2, 0xED: 0x2c83, 0xEE: 0x1ce0, 0xEF: 0x0cc1,
0xF0: 0xef1f, 0xF1: 0xff3e, 0xF2: 0xcf5d, 0xF3: 0xdf7c,
0xF4: 0xaf9b, 0xF5: 0xbfba, 0xF6: 0x8fd9, 0xF7: 0x9ff8,
0xF8: 0x6e17, 0xF9: 0x7e36, 0xFA: 0x4e55, 0xFB: 0x5e74,
0xFC: 0x2e93, 0xFD: 0x3eb2, 0xFE: 0x0ed1, 0xFF: 0x1ef0,
Press any key to continue
//===============================================
9．求取数组的 CRC
实际的数据传输，往往是要把几十个字节的信息数据，求出一个 16 位的 CRC 码，再把它附在信息的后面进行传送。
网上可以找到这样的 C 程序，做而论道加上了一些注释，如下所示：
//===============================================
unsigned char test[16] = {
0x00, 0x11, 0x22, 0x33, 0x44, 0x55, 0x66, 0x77,
0x88, 0x99, 0xaa, 0xbb, 0xcc, 0xdd, 0xee, 0xff};
unsigned char len = 16;
//----------------------------
unsigned int crc16l(unsigned char *ptr, unsigned char len)
{ //ptr 为数据指针，len 为数据长度
unsigned char i;
unsigned int crc = 0;
while(len--) { //按照数据的个数进行循环
for(i = 0x80; i != 0; i >>= 1) { //由高位到低位
if((crc & 0x8000) != 0) { crc <<= 1; crc ^= 0x1021; }
else crc <<= 1;
if((*ptr & i) != 0 ) crc ^= 0x1021;//针对数据进行处理
}
ptr++; //下一个数据
}
return(crc);
}
//----------------------------
void main(void)
{
printf("0x%04x", crc16l(test, len) & 0xFFFF);
}
//===============================================
程序运行后，将显示出来：0x1248，这就是数组中 16 个字节数据的 CRC 码。
10．在 51 单片机中的 CRC 应用
上述的 C 程序，也可以移植到单片机系统中，但是 C 程序的速度和占用空间就不敢恭维了。
针对同样一个字节(即0x4F)进行处理的时候，C 程序使用的时间是 263 T，大约是汇编程序的 2.5 倍 !
当然，也可以采用查表的方法，速度就可以提高几十倍，但是表格占用的空间，也是很可惜的。
所以，做而论道关于这方面的应用程序，都是用汇编语言编写的。
这种程序，虽然执行的效率较高，但是篇幅却较长。恐怕多数人都没有耐心看，所以做而论道的程序，也就不在此处公布了。
