线性代数Ax=b原理及工程上的应用

前言

线性代数在工程应用上十分广泛，在坐标系转换，深度学习，求解算法的优化解方面有着大量应用。因此掌握线性代数的基本理论，并且具有解决实际工程问题的能力尤为重要。

线性方程组解的情况

 线性方程组的解的三种情况

1. 适定方程组：存在唯一解
2. 欠定方程组：存在多解。变量数<方程组数
3. 超定方程组：无解。但可以求出近似解

二元方程组解的三种情况

超定二元方程组的解

​

以上是无解的，即方程组不相容，但有近似解-----最小二乘解！

用线性代数数值解计算实际工程问题

对某一城市的交通流量分析：

列出方程组是：

按照Ax=b的格式转化成矩阵形式

在Ax=b中，b代表常数，这是线性方程组。注意：A必须是方阵才能求逆。对其x的求解，可能出现无解，有解，多解的情况，不能用x求b/A
所以，可以用matlab相关函数求解，使用简化行列式的思路，对行矩阵变换！

?

1 2	b=[160;-40;210;-330]; U=rref([A,b]);

可以求出U的简化行列式为：

可以看出，简化后属于欠定方程，属于多解问题。

矩阵建模的方法

1. 列出全部方程，构成方程组
2. 将方程组变成矩阵
3. 求解，用matlab
复杂的系统。列出的方程通常有两种形式。（注意，是列方程）
变量在等号左侧，常数项在右侧，整理出Ax=b
若有多种变量，将一个变量在等号左边，其余变量在右边
使其能变成：
X=QX+PU矩阵
方程是（1-Q）X=PU
传递函数是W=X/U=inv(1-Q)*P

Ax=b的五种写法

Ax=B的解法
方法一：
X=B/A用逆矩阵来求（逆矩阵的前提是A是方阵）
逆矩阵的matlab函数是

?

1

V=inv(A)；

Ax=B可以求出x=B/A

?

1	x=B*inv(A);

Ax=b，非齐次线性方程组
Ax=0, 齐次线性方程组

方法二：
也可以用行列式来判断解是否存在：
判断线性方程组的解是否存在和唯一：Ax=0
A是系数矩阵,ιAι≠0,解存在
在MATLAB中求行列式的值，用

?

1

det(A);

非齐次线性方程组Ax=b解存在且唯一的条件是det(A)≠ 0
齐次线性方程组Ax=0有非0解的条件是det(A)= 0

Ax=b三个不同角度讨论

1. Ax=b 最简行列式变换，消元，求有，无，超定，欠定解，rref
2. 把Ax当成A是列向量组，判断是否相关，证明超定方程的最小二乘解！
3. 把A看成一个几何变换，把x域中图形变换到y域中去！

 Ax=b变换后直线还是直线。

为顶点在（0,0），（1,0），（1,1），（0,1）的单位方块！
这就是变换矩阵的行列式的意义！

ιAι是变换后面积的变化

在几何里面，因为矩阵的变换是Ax,所以

 不能实现平移等线性变换，所以引入齐次坐标系！（增加一维）

 (旋转是绕原点的)

先旋转后平移，是R*M,不是R+M

Ax=b在几何学上的应用

1. Ax=y表示向量空间中x组成的图形经变换A后变换为向量空间y中的图形
2. Ax=y也表示坐标变换，A中各列为y坐标的基向量，用这关系可进行正反坐标变换。

?

1	eigshow(A);

在matlab中，可显示二维向量x沿单位圆转动时，经A左乘后在y平面上的形状。
x-y共线时，y=Ax= λx,λ为特征值，x为特征向量
在matlab中，求取特征值和特征向量为

?

1	[P,lambada]=eig(A);

QR分解的几何意义

QR分解可以看成分解出新的坐标系！
在matlab中，求取结果是

?

1	[Q,R]=qr(A);

作qr分解：

从几何角度来看：

Q的第一列代表新成立的x坐标，第二列是垂直的y坐标！（即分解后的新坐标）