YYHS-蜀传之单刀赴会（梦回三国系列T2）（最短路+状压dp）
题目描述
【题目背景】
公元215年，刘备取益州，孙权令诸葛瑾找刘备索要荆州。刘备不答应，孙权极为恼恨，便派吕蒙率军取长沙、零陵、桂阳三郡。长沙、桂阳蜀将当即投降。刘备得知后，亲自从成都赶到公安(今湖北公安)，派大将关羽争夺三郡。孙权也随即进驻陆口，派鲁肃屯兵益阳，抵挡关羽。双方剑拔弩张，孙刘联盟面临破裂，在这紧要关头，鲁肃为了维护孙刘联盟，不给曹操可乘之机，决定当面和关羽商谈。“肃邀羽相见，各驻兵马百步上，但诸将军单刀俱会”。双方经过会谈，缓和了紧张局势。随后，孙权与刘备商定平分荆州，“割湘水为界，于是罢军”，孙刘联盟因此能继续维持。
【问题描述】
关羽受鲁肃邀请，为了大局，他决定冒险赴会。他带着侍从周仓，义子关平，骑着赤兔马，手持青龙偃月刀，从军营出发了，这就是历史上赫赫有名的“单刀赴会”。关羽平时因为军务繁重，决定在这次出行中拜访几个多日不见的好朋友。然而局势紧张，这次出行要在限定时间内完成，关公希望你能够帮助他安排一下行程，安排一种出行方式，使得从军营出发，到达鲁肃处赴会再回来，同时拜访到尽可能多的朋友，在满足这些条件下行程最短。注意拜访朋友可以在赴会之前，也可以在赴会之后。现在给出地图，请你完成接下来的任务。
输入
第一行n,m,k,t,代表有n个地点，m条道路,有k个朋友(不包括鲁肃)，以及限定时间t(行走1单位长度的路程用时1单位时间)。
接下来m行，每行有x,y,w三个整数，代表x和y之间有长度为w的道路相连。
接下来一行有k个整数，代表朋友所在的都城编号(保证两两不同，且不在1和n)
（我们约定1是关羽的营地，n是鲁肃的营地）
输出
输出两个整数，分别是最多可以拜访的朋友数，以及在这种情况下最少需要耗费的时间，如果连到达鲁肃再回来都无法完成，输出一个-1就可以了。
样例输入
样例输出
提示
【数据规模和约定】
有10%数据，n<=10,m<=50,k<=5;
有10%数据,k=0;
有10%数据,k=1;
另30%数据，k<=5;
对于100%数据，n<=10000,m<=50000,k<=15,t<=2147483647,w<=10000
题解
这道题应该是这一系列里最难的一道了
我们观察到k很小，不难想到状压dp
dp[i][j]表示状态为i，最后到达的点为j的最少时间
转移方程不难想到，我们枚举当前状态最后到达的点j，再枚举未来状态最后到达的点l，判断一下当前状态里包不包含l，如果不包含，dp[i|(1<<(l-1))][l]=min(dp[i|(1<<(l-1))][l],dp[i][j]+dist[j][l])；
不过这里有一个小疑问就是dist[j][l]之间有一个另外的朋友经过了怎么办，这样不是没有记录么，其实我刚开始也是这样想的，但是其实我们状态都会枚举，不会有错
那么我们要怎么求dist[j][l]呢？
我们先把地点1加入到要访问的朋友里，再把地点n加入到朋友里
最后我们加一个n+1点，作为最后回到1的点（注意我们的k已经加了3了）
我们跑k-2遍最短路，把两两朋友之间的最小距离算出来
最后枚举一下状态判断dp[i][k]是否<=t且i&(1<<(k-2))（判断到达点n）就可以啦
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define N 10005 3 #define M 50005 4 #define ll long long 5 using namespace std; 6 int n,m,k,t,tot,x,y,z,num,ans; 7 int head[N],dis[N]; 8 int p[20]; 9 bool flag[N]; 10 int dist[20][20]; 11 ll dp[265005][20]; 12 struct node{ 13 int next,to,dis; 14 }e[2*M]; 15 void add(int x,int y,int z){ 16 e[++tot].next=head[x]; 17 head[x]=tot; 18 e[tot].to=y; 19 e[tot].dis=z; 20 } 21 queue<int> q; 22 void spfa(int x,int id){ 23 for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e9,flag[i]=false; 24 dis[x]=0; flag[x]=true; 25 q.push(x); 26 while (!q.empty()){ 27 int u=q.front(); 28 q.pop(); 29 for (int i=head[u];i;i=e[i].next){ 30 int v=e[i].to; 31 if (dis[v]>dis[u]+e[i].dis){ 32 dis[v]=dis[u]+e[i].dis; 33 if (!flag[v]){ 34 q.push(v); 35 flag[v]=true; 36 } 37 } 38 } 39 flag[u]=false; 40 } 41 for (int i=1;i<=k-1;i++) 42 dist[id][i]=dis[p[i]]; 43 dist[id][k]=dis[1]; 44 } 45 int main(){ 46 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t); 47 for (int i=1;i<=m;i++) 48 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z); 49 p[1]=1; k++; 50 for (int i=2;i<=k;i++) scanf("%d",&p[i]); 51 p[++k]=n; k++; 52 for (int i=1;i<=k-1;i++) spfa(p[i],i); 53 for (int i=1;i<=k-1;i++) dist[k][i]=dist[1][i]; 54 for (int sta=0;sta<=(1<<k)-1;sta++) 55 for (int j=1;j<=k;j++) dp[sta][j]=1e18; 56 dp[1][1]=0; 57 for (int sta=1;sta<=(1<<k)-1;sta++) 58 for (int j=1;j<=k;j++) 59 for (int l=1;l<=k;l++) 60 if (!(sta&(1<<(l-1)))) 61 dp[sta|(1<<(l-1))][l]=min(dp[sta|(1<<(l-1))][l],dp[sta][j]+dist[j][l]); 62 num=-1; ans=1e9; 63 for (int sta=0;sta<=(1<<k)-1;sta++) 64 if (dp[sta][k]<=t&&(sta&(1<<(k-2)))){ 65 int x=sta,tot=0; 66 while (x) x-=(x & (-x)),tot++; 67 tot-=3; 68 if (tot>num) num=tot,ans=dp[sta][k]; else 69 if (tot==num&&dp[sta][k]<ans) ans=dp[sta][k]; 70 } 71 if (num==-1) puts("-1"); 72 else printf("%d %d\n",num,ans); 73 return 0; 74 }
