YYHS-Floor it（递推+矩阵乘法+快速幂）

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提示

 

 

 

 

题解

先不管p，通过列举前面几项，不难发现当i为偶数时，a[i]=a[i-1]+a[i-2]，当i为奇数时，a[i]=a[i-1]+a[i-2]+1,具体证明还不会，希望有大佬能在讨论区讲讲

知道了a[i]的通项后，我们可以通过矩阵乘法的快速幂log(n)来求出答案。

具体怎么做，我们可以两项两项的来做，最后再判断一下n的奇偶性就可以了。

不过我是用3维矩阵来做的

刚开始的ans为

0	0	0
0	0	0
1	2	1

ans[3][1]表示a[i-1],ans[3][2]表示a[i]  

tmp为

1	1	0
1	2	0
1	1	1

刚开始Matrix_pow(n/2-1,p)，具体为什么是这样可以代一个n=2进去，这样Matrix_pow不会做，再判断n为偶数，那么答案就是ans[3][2]，发现是正确的

 

做完Matrix_pow后，判断n为奇数就再乘一个矩阵temp为

0	1	0
1	1	0
0	1	1

最后答案就是ans[3][2]

不过这里你要特判一下n=0和n=1的情况，我就是被n=0给坑了，害得我找了1个小时的错

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p;
ll tmp[4][4],temp[4][4],ans[4][4],c[4][4];
void Matrix_mul(ll a[4][4],ll b[4][4]){
    for (int i=1;i<=3;i++)
        for (int j=1;j<=3;j++){
            c[i][j]=0;
            for (int k=1;k<=3;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]%p*b[k][j]%p)%p;
        }
}
void Matrix_pow(ll n){
    while (n>0){
        if (n%2){
            Matrix_mul(ans,tmp);
            memcpy(ans,c,sizeof(ans));
        }
        Matrix_mul(tmp,tmp); 
        memcpy(tmp,c,sizeof(tmp));
        n>>=1;
    }
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    if (!n||n==1){ printf("%lld\n",1%p); return 0; }
    tmp[1][1]=1; tmp[1][2]=1; tmp[2][1]=1; tmp[2][2]=2; tmp[3][1]=1; tmp[3][2]=1; tmp[3][3]=1;
    ans[3][1]=1; ans[3][2]=2; ans[3][3]=1;
    temp[1][2]=1; temp[2][1]=1; temp[2][2]=1; temp[3][2]=1; temp[3][3]=1;
    Matrix_pow(n/2-1);
    if (n%2){
        Matrix_mul(ans,temp);
        memcpy(ans,c,sizeof(ans));
    }
    printf("%lld\n",ans[3][2]);
    return 0;
}