欧几里得算法及扩展欧几里得算法简单解释

欧几里得算法：

　　解释：给定两个自然数，求出两个自然数的最大公约数。也叫——辗转相除法

　　过程：1.给定两个自然数a、b

　　　　　2.a == 0 时 gcd（a，b）= b；b == 0 时 gcd（a，b） = a

　　　　　3.当a，b都大于0时有 gcd（a，b）= gcd（b，a%b），减小a，b继续计算

　　证明：当a，b都大于0时，我们保证a大于b；并令a=kb+r

　　　　　当 r = 0时，最大公约数就是b

　　　　　当 r != 0时，首先r = a%b = a-kb，又令g = a与b的任意公约数

　　　　　a与kb都能整除g，所以r也能整除g，所以b与a%b的公约数等于g

　　　　　反过来也可以从b与a%b推出，a与b的公约数为g，这样b与a%b跟a与b的所有公约数是一样的

　　　　　得证

　　代码：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

 

扩展欧几里得算法：

　　　解释：找到一对整数（x，y）使得ax+by=gcd（a，b）

　　　证明及过程：当a为0时，y为1，（b一样）

　　　　　　当a、b都不为0时，因为gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

　　　　　　所以 ax+by = b*x1+a%b*y1

　　　　　　　　　　　　= b*x1+(a-a/b*b)*y1

　　　　　　　　　　　　= a*y1+b*(x1-a/b*y1)

　　　　　　然后我们需要模拟欧几里得算法，交换x、y，并改变x

　　　代码：

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}

 　　应用：模线性方程

　　　　　方程：ax ≡ c (mod b) -> 线性不等方程 ax+by = c（≡ 为前后mod b同余）

　　　　　解出ax+by=gcd（a，b）后a*(x*c/g)+b*(y*c/g)=c(g=gcd(a,b))