剪绳子 牛客网-剑指Offer_编程题
题目描述
给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
题目分析
首先，将该题目可以建模成：
（一）当不考虑未知数是否为整数的情况
可知，首先要找到最佳的m，再找到最佳的m个段长。若m固定的话，怎样将n分配到m段才能让这m段的乘积最大呢？很容易想到，当n均匀分配到m段时，m段长的乘积最大，这也是可以证明得到的。
假设m=2，则x+y=n,f(x,y)=x*y=x*(n-x)=nx-x2，对于这样一个二次函数，它具有最小值n2/4，对应x=y=n/2，这个大家都知道。那么推广到m未知的情况，是怎么样的？
根据
可以消元得到
对函数求偏导并令所有偏导等于0，即可得到极值：
...
化简得到：
...
即：
那么可知
此时f函数在m固定的情况下具有最大值，那么其实m也是个未知数，如何确定m使得f函数最大呢？
我们又可以使用求导令其等于0的方法，不过我们可以稍稍变换一下函数使其更好求导，即函数前加个ln：
求出了lnf的极值点，那么也就求出了f的极值点：
可得：
故可知：上式情况下函数f具有最大值
（二）考虑到未知数应为整数的情况
根据我们的建模公式，咱们的未知数都为整数，而在上一步，我们求得的解很可能产生小数，所以我们需要调整。
m的范围最好是在n/e左右，那么就考虑m要么为n/e左边的整数，要么为其右边的整数。
同理，分出来的段长要么为2，要么为3。
python编程实现
1 for i in range(2, 61): 2 m = i/math.e 3 m1 = int(m) if int(m) > 1 else 2 4 m2 = m1 + 1 if int(m) > 1 else 2 5 c1 = int(i/m1) 6 c2 = int(i/m2) 7 r3 = ((c1+1) ** (i - c1 * m1)) * (c1 ** (m1 - i + c1 * m1)) 8 r4 = ((c2+1) ** (i - c2 * m2)) * (c2 ** (m2 - i + c2 * m2)) 9 print(r3 if r3 >= r4 else r4)
