《算法竞赛入门经典》5.41数学基础-Cantor的数表

如下数列，第一项是1/1，第二项是1/2，第三项是2/1，第四项是3/1，第五项是2/2，……。输入n，输出第n项。
1/1   1/2   1/3   1/4   1/5
2/1   2/2   2/3   2/4
3/1   3/2   3/3
4/1   4/2
5/1
样例输入：
3
14
7
12345
样例输出：
2/1
2/4
1/4
59/99

方法一：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) == 1)
    {
        int k = 1, s = 0;
        for(; ; )
        {
            s += k;
            if(s >= n)    //s为k条斜线上数的总和
            {
                if(k%2 == 1)    printf("%d/%d\n", s-n+1, k-s+n); //表示输出第k斜线倒数第s-n+1项
                else            printf("%d/%d\n", k-s+n, s-n+1); //表示输出第k斜线正数第k-(s-n+1)+1项，即k-s+n项
                break;
            }
            k++;
        }
    }
    return 0;
}

分析：
　　1.数表按斜线分类，第1条斜线有1个数，第2条斜线有2个数……第i条斜线有i个数，这样，前i条斜线一共有S(k)=1+2+3+…+k=k(k+1)/2个数；并且是一条斜线从上到下，另一条斜线从下到上交错排数。
　　2.确定n所在斜线：只要找到一个最小的正整数k，使得n<=S(k)，那么n就是第k条斜线上的倒数第S(k)-n+1个元素（最后一个元素是倒数第一个元素，而不是倒数第零个元素）；则第k条斜线的倒数（k为奇数时，第k斜线倒序）第i个元素是i/(k+1-i)，正数（k为偶数时，第k斜线正序）第i个元素是(k+1-i)/i。

方法二：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n))
    {
        int k = (int)floor((sqrt(8.0*n+1)-1) / 2-1e-9) + 1;    //使用floor函数避免浮点误差
        int s = k*(k+1) / 2;    //s为k条斜线上数的总和
        if(k%2 == 1)    printf("%d/%d\n", s-n+1, k-s+n);    //表示输出第k斜线倒数第s-n+1项
        else            printf("%d/%d\n", k-s+n, s-n+1);    //表示输出第k斜线正数第k-(s-n+1)+1项，即k-s+n项
    }
    return 0;
}

分析：
　　1.利用代数，n<=k*(k+1)/2，k*k+k-2n>=0，(k-(sqrt(8.0*n+1)-1)/2)*(k-(-sqrt(8.0*n+1)-1)/2)>=0，注意到k-(-sqrt(8.0*n+1)-1)/2总是正数，则k>=(sqrt(8.0*n+1)-1)/2；换言之，可以直接求出则k=(sqrt(8.0*n+1)-1)/2。
　　2.floor()函数，其功能是“向下取整”，或者说“向下舍入”，即取不大于x的最大整数（与“四舍五入”不同，下取整是直接去掉小数部分）；
　　3.指数形式：由于计算机输入或输出时，无法表示上角或下角，规定以字母e或E代表以10为底的指数；注意：e或E之前必须有数字，e或E后面必须是带符号的十进制整数，长度最大为3位，正数时可不写+号。

方法三：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) == 1)
    {
        int k = 1;
        while (k < n)    //k为第n项所在行数，循环的意义为所求数在第k条斜线第n项
        {
            n -= k;        //n减去第k条斜线上的数
            k++;
        }
        if (k%2 == 1)    printf("%d/%d\n", k+1-n, n); //表示输出第k斜线倒数第(k-n)+1项
        else            printf("%d/%d\n", n, k+1-n); //表示输出第k斜线正数第n项
    }
    return 0;
}

分析：

　　用n减去前k条斜线上的个数后再和第k条斜线上个数相比即得所求数位置。