中国剩余定理

 

问题简单来说就是 a = ai (mod ni)   求未知数a,
 以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:
      设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有:  a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:
      对于 a=ai  (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni;   ci = mi(mf  mod ni);   其中 mi*mf  mod ni = 1;
         则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck)      (mod n)      (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
                     mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

 

直接看代码吧~~~

 

 

#include <iostream>
using namespace std;
__int64 m[1000];//除数
__int64 r[1000];//余数
__int64 X,Y;

__int64 Extende_GCD(__int64 a, __int64 b)
{
    if (b==0)
    {
        X=1;
        Y=0;
        return a;
    }

    __int64 d=Extende_GCD(b,a%b);
    __int64 t=X;
    X=Y;
    Y=t-a/b*Y;
    return d;
}

__int64 CHN_Rnd(long len)
{
    __int64 M=1;
    long i;
    
    for (i=0;i<len;++i)
    {
        M*=m[i];
    }

    __int64 res=0;

    for (i=0;i<len;++i)
    {
        __int64 Mi=M/m[i];
        Extende_GCD(Mi,m[i]);
        res= (res+Mi*X*r[i])%M;
    }
    if (res<0)
    {
        res+=M;
    }
    return res;
}

int main()
{
    long n;
    while (scanf("%ld",&n)!=EOF)
    {
        long i;
        for (i=0;i<n;++i)
        {
            scanf("%I64d %I64d",&m[i],&r[i]);
        }
        printf("%I64d\n",CHN_Rnd(n));
    }
    return 0;
}