PKU 1061 (扩展欧几里德)

 

所谓扩展欧几里德,就是在欧几里德算法的基础上加入变量X,Y,使得aX-bY=GCD(a,b)。

 

此时X，Y是该不定方程式的一组解。

 

 

求a * x + b * y = n的整数解的过程:

 

1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

 

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

 

3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

            x = n' * x0 + b' * t
            y = n' * y0 - a' * t
                (t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

 

 

关于1061的解法

 

由题意:

    (x+mt)-(y+nt)=pL

=>(m-n)t-(y-x)=pL

=>(m-n)t-pL=(y-x) 即  (m-n)t≡(y-x)MOD(L)

令a=m-n,b=L,c=y-x,X=t,Y=p

 

则原等式转换为 aX-bY=c

使用扩展欧几里德 求出一组解X0,Y0=>aX0-bY0=GCD(a,b)

令d=GCD(a,b) 若c%d!=0 则无解

否则对于等式

aX0-bY0=d

=>a[X0/d]-b[Y0/d]=1

=>a[c*X0/d]-b[c*Y0/d]=c

此时c*X0/d即为所求的t

可以证明其为在0附近的最小解，由于c可能小于0，则加b（X增b，Y减a,和不变）使之为正解。

 

实现代码如下:

 

 

#include <iostream>
using namespace std;
long long X,Y;

long long extendGCD(long long a,long long b)
{
    if (b==0)
    {
        X=1;
        Y=0;
        return a;
    }
    long long d=extendGCD(b,a%b);
    long long t=X;
    X=Y;
    Y=t-(a/b)*X;

    return d;
}

int main()
{
    long long x,y,m,n,L;
    while (cin>>x>>y>>m>>n>>L)
    {
        long long A=m-n;    
        long long B=L;
        long long C=y-x;

        if (A<0)
        {
            A=-A;
            C=-C;
        }

        long long d=extendGCD(A,B);

        if (m==n||C%d!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
        }
        else
        {
            B/=d;
            C/=d;
            long long t=C*X;
            cout<<(t%B+B)%B<<endl;
        }
    }
    return 0;
}