连分数逼近

在数学中，连分数或繁分数即如下表达式：

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}

这里的 a0 是某个整数而所有其他的数 an 都是正整数。可依样定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。

 

 

 

连分数常用于无理数的逼近，例如：

\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}}}}}} 由此得到 \sqrt{2} 的渐近分数 \frac{1}{1}、\frac{3}{2}、\frac{7}{5}、\frac{17}{12}、……

 

 

考虑实数 r。设 i 是 r 的整数部分，而 f 是它的小数部分。则 r 的连分数表示是 [i; …]，这里的“…”是 1/f 的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。

要计算实数 r 的连分数表示，写下 r 的整数部分（技术上 floor）。从 r 减去这个整数部分。如果差为 0 则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当 r 是有理数。

找出 3.245 的连分数
3\, 3.245 - 3\, = 0.245\, 1 / 0.245\, = 4.082\,
4\, 4.082 - 4\, = 0.082\, 1 / 0.082\, = 12.250\,
12\, 12.250 - 12\, = 0.250\, 1 / 0.250\, = 4.000\,
4\, 4.000 - 4\, = 0.000\, STOP
3.245 的连分数是 [3; 4, 12, 4]
3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}

数 3.245 还可以表示为连分数展开 [3; 4, 12, 3, 1]；参见下面的有限连分数。

这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致数值灾难。作为替代，任何浮点数是一个精确的有理数（在现代计算机上分母通常是 2 的幂，在电子计算器上通常是 10 的幂），所以欧几里德GCD算法的变体可以用来给出精确的结果。

 

 

 

\frac{\sqrt{5} -1}{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}}} 由此得到黄金分割的渐近分数 \frac{1}{1}、\frac{1}{2}、\frac{2}{3}、\frac{3}{5}、\frac{5}{8}、\frac{8}{13}、……

注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列。

\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \frac{1}{292 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}}} 由此得到圆周率的渐近分数 \frac{3}{1}、\frac{22}{7}（约率）、\frac{333}{106}、\frac{355}{113}（密率）、\frac{103993}{33102}、……

数学上可以证明，由（狭义）连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

 

 

 

研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。

多数人熟悉实数的小数表示：

r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}

这里的 a0 可以是任意整数，其它 ai 都是 {0, 1, 2, ..., 9} 的一个元素。在这种表示中，例如数 π 被表示为整数序列 {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。

这种小数表示有些问题。例如，在这种情况下使用常数 10 是因为我们使用了 10 进制系统。我们还可以使用 8 进制或 2 进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如，数 1/3 被表示为无限序列 {0, 3, 3, 3, 3, ....}。

连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如 415/93，约为 4.4624。近似为 4，而实际上比 4 多一点，约为 4 + 1/2。但是在分母中的 2 是不准确的；更准确的分母是比 2 多一点，约为 2 + 1/6，所以 415/93 近似为 4 + 1/(2 + 1/6)。但是在分母中的 6 是不准确的；更准确分母是比 6 多一点，实际是 6+1/7。所以 415/93 实际上是 4+1/(2+1/(6+1/7))。这样才准确。

去掉表达式 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) 中的冗余部分可得到简略记号 [4; 2, 6, 7]。

实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质：

  • 一个数的连分数表示是有限的，当且仅当这个数是有理数。
  • “简单”有理数的连分数表示是简短的。
  • 任何有理数的连分数表示是唯一的，如果它没有尾随的 1。（但是 [a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1]。）
  • 无理数的连分数表示是唯一的。
  • 连分数的项将会重复，当且仅当它是一个二次无理数（即整数系数的二次方程的实数解）的连分数表示 [1]。
  • 数 x 的截断连分数表示很早产生 x 的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近（参阅下述定理 5 推论 1）。

最后一个性质非常重要，且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截断 1/7 = 0.142857... 在各种位置上产生逼近比，如 142/1000、14/100 和 1/10。但是明显的最佳有理数逼近是“1/7”自身。π 的截断小数表示产生逼近比，如 31415/10000 和 314/100。π 的连分数表示开始于 [3; 7, 15, 1, 292, ...]。截断这个表示产生极佳的有理数逼近 3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、...。 314/100 和 333/106 的分母相当接近，但近似值 314/100 的误差是远高于 333/106 的 19 倍。作为对π的逼近，[3; 7, 15, 1] 比 3.1416 精确 100 倍。

 

 

 

 

現在我們先回想一下歐幾里德計算法：

設 a,b 為兩整數，且 b>a，則

 

\begin{displaymath} \mbox{({\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 66}... ...tfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 162}}) \end{cases}\end{displaymath}


 

 

這個計算法是在紀元前三世紀時由歐幾里德發現的，記載在他不朽的《原本》裡第七卷上。它的主要目的在於求兩數 a 與 b 的最大公因數（即上式中之 rN）。今天，如果我們要電子計算機為我們設計解決最大公因數的問題的話，我們該為歐幾里德驕傲，因為他兩千年前用的這個方法仍然是目前最棒的。

現在，我們把（甲）組裡的式子全寫為分式，如下所示：

 

\begin{displaymath} \mbox{({\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 14}... ...N}{r_{N-1}} \\ & \frac{r_{N-1}}{r_N}=a_N \end{eqalign}\right. \end{displaymath}


 

 

再將乙組中第一式之 ${\displaystyle \frac{r_1}{b} }$ 以第三式之倒數代入，接著 ${\displaystyle \frac{r_2}{r_1} }$ 以第三式之倒數代入，依次類推，即得

 

\begin{eqnarray*} \mbox{({\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont \char 6})} ... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}) \end{eqnarray*}

 


上式之右邊即所謂的「連分數」（更精確地說，有窮簡單連分數）。為了節省篇幅及簡便起見，我們簡寫為

 

\begin{displaymath} a_0+\frac{1}{a_1}\; \lower1.5ex\hbox{$+$}\; \frac{1}{a_2} \;... ...fontseries{m}\selectfont \char 67}} \quad [a_0,a_1,\cdots,a_N] \end{displaymath}
 

 

以下是连分数代码的实现 纯属本人按图索骥 如有不足请指出

 

 

 

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

__int64 Num[1000];//记录连分数数列

//Continued fractions

long Fraction(__int64 r,__int64 f)
{
    __int64 m=1;
    while (m<=f)
    {
        m*=10;
    }

    __int64 s=r*m+f;
    long len=0;

    
    while (s%m!=0)
    {
        __int64 t=s%m;
        Num[len++]=s/m;
        s=m;
        m=t;    
    }
    Num[len++]=s/m;
    //将分母依次存入数列


    return len;
}


int main()
{
    __int64 r,f;
    while (scanf("%I64d.%I64d",&r,&f)!=EOF)
    {
        long len=Fraction(r,f);
        long i;
        for (i=0;i<len;++i)
        {
            printf("%ld:%I64d\n",i+1,Num[i]);
        }
    }
    return 0;
}

 

 

posted @ 2008-08-19 13:22  Hdu-Lost  阅读(2471)  评论(2)  编辑  收藏  举报