Codeforces Round #752 div1 ABC

A. Di-visible Confusion

题意

给一个长度为\(n\)的数组\(a\)，当\(a_i\)不被\(i+1\)整除时，可以将\(a_i\)从数组中移除，后面剩余的元素向前递补（下标-1）。
问是否能把数组删空。

思路

数组\(a\)能被删空，等价于
1）数组\(a[1:n-1]\)能被删空，且
2）\(a[n]\)能被\(2, 3, \dots, n+1\)中的至少一项整除。
证明
显然1）是必要条件；
在1）成立的前提下，原命题是否成立取决于\(a[n]\)能否被移除；
在删空\(a[1:n]\)的过程中，\(a[n]\)的下标会从\(n\)递减到1，只要有一个满足条件的时刻，我们就可以将其移除。
证毕。

所以原问题可以递归地分解为求

\[\bigwedge_{i=1}^{n}(\bigvee_{j=2}^{i+1}j \nmid a[i]) = \bigwedge_{i=1}^n \overline{\bigwedge_{j=2}^{i+1}j \mid a[i]} = \bigwedge_{i=1}^n \mathrm{LCM}(2, 3, \dots, i+1) \mid a[i] \]

从前往后扫一遍前缀LCM即可

B. Moderate Modular Mode

题意

给两个偶数\(x, y \in [2, 10^9]\)，求\(n \in [1, 2 \times 10^{18}], s.t. n \% x = y \% n\)

思路

若\(x > y\)，令\(n = x + y\)
否则令\(n = y - \frac{y \% x}{2}\)

C. Extreme Extension

题意

太长懒得讲了。。

思路

对于任意一个subarray，当前项大于后项时，将前项拆成小于等于后项的若干项，拆了前项，可能前项的前项又不合法了，于是继续拆……所以就从后往前拆。

拆的时候讲究贪心。每次拆分要最小化碎片数量，同时要尽可能均匀地拆分。拆的不均匀显然不优。

这样拆的话，每一项的拆分方式只有\(\sqrt{m}\)种是有效的，比如\(5=1+1+1+2\)这种拆法会被舍弃，因为\(5=1+2+2\)更优。

那就在\(n\sqrt{m}\)个状态上\(dp\)，转移复杂度\(O(1)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
void fr(int &x){
    char ch;
    while(scanf("%c",&ch),ch<'0'||ch>'9');
    x=ch-'0';
    while(scanf("%c",&ch),ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0';
}
const int mod=998244353;
const int N=100010;
int a[N],n;
int dp[2][N];

int main(){
    int T;
    fr(T);
    int ca=0;
    while(T--){
        fr(n);
        for(int i=1;i<=n;++i)fr(a[i]);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int bt=i&1;
            if(i>1){
                int k=(a[i-1]+a[i]-1)/a[i];
                int r=(a[i-1]+k-1)/k;
                ans+=dp[bt^1][r];
                if(ans>=mod)ans-=mod;
            }
            for(int bd=a[i];bd;){
                int k=(a[i]+bd-1)/bd;
                int l=a[i]/k,r=(a[i]+k-1)/k;
                dp[bt][r]=1ll*(k-1)*i%mod;
                if(i>1){
                    int kk=(a[i-1]+l-1)/l;
                    int rr=(a[i-1]+kk-1)/kk;
                    dp[bt][r]+=dp[bt^1][rr];
                    if(dp[bt][r]>=mod)dp[bt][r]-=mod;
                }
                bd=r-1;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}