通信基础知识｜信道容量

写在前面：关于信道容量相关的定义与理论，最经典的是与AWGN信道相关的香农公式，随着移动通信系统的发展，通信信道越来越复杂，在香农公式研究的基础上实际上又有很多展开的研究，包括平坦衰落信道、频率选择性等信道的容量、又包括收发端是否已知信道信息条件下的容量。本篇文章将相关的资料加以记录整理，供个人学习使用。

1 相关定义

香农容量（各态历经容量、遍历容量）：系统无误传输（误码率为0）下，能够实现的最大传输速率；香农定义该容量为在某种输入分布 $p_X(x)$ 下，信息传递能够获得的最大平均互信息 $I(X;Y)$ ，也即 $C_{\rm ergodic}=\max_{p_X(x)}I(X;Y)$ ；如果信道衰落变化很快，在一个编码块内，所有的信息会经历所有可能的衰落，那么此时通常用各态历经容量来定义capacity，为每种可能衰落下，信道容量的统计平均值
中断容量：系统在某个可接受的中断概率下的最大传输速率（注意信噪比越小，中断概率越大，于是可接受的最大中断概率对应着一个最小的信噪比），有 $P_{\rm outage}=P(\gamma<\gamma_{\min})$ ；如果信道衰落变化较慢，在一个编码块内，信息经历相同的衰落，而不同编码块内信息经历不同的衰落，此时通常用中断容量来讨论capacity

2 影响信道容量的因素

信道种类：AWGN信道、平坦衰落信道、频率选择性衰落信道、时间选择性衰落信道等
信道信息对于收发端是否已知：收发端已知信道衰落分布信息CDI、接收端已知信道实时的状态信息CSIR、收发端都已知信道实时的状态信息CSIRT

3 SISO信道容量

AWGN信道：最简单的加性高斯白噪声AWGN信道的（香农）信道容量，即是经典的香农公式： $C=B\log(1+\frac{S}{N})$ ，其推导见通信基础知识 | 信息熵与香农公式，注意两个条件：高斯分布的信源熵最大、信号与噪声不相关

平坦衰落信道：对于平坦衰落信道模型 $y=hx+n$ 来说，信道的抽头系数可以写为 $\sqrt{g[i]}$ ，其中 $g[i]$ 为每时刻的功率增益系数，信噪比此时考虑信道的衰落作用，为 $\gamma=\frac{S|h|^2}{N}$

CDI：求解困难
CSIR：经过衰落的信道 $h$ 的作用，相比AWGN信道，平坦衰落信道的信噪比会随之随机下降
- 各态历经容量： $C_{\rm ergodic}=B\int_0^{\infty}\log(1+\gamma)p(\gamma)d\gamma$ ，由于平坦衰落信道中的信噪比 $\gamma$ 相比AWGN信道都是下降的，不难判断有 $C_{\rm fading}<C_{\rm AWGN}$
- 中断容量： $C_{\rm outage}=B\log(1+\gamma_{\min})$ ，平均正确接受的信息速率为 $C_{\rm right}=(1-P_{\rm outage})B\log(1+\gamma_{\min})$
CSIRT：根据香农公式，信道容量与接收信号功率、噪声功率、信号带宽相关。在CSIR的基础上，如果发射端也已知了信道的情况，就可以根据信道的好坏来调整发射功率，从而获得容量上的增益，此时香农信道容量可以表示为根据信噪比的不同分配总功率使得容量最大：

$\begin{align} C_{\rm ergodic}&=\max _{S(\gamma): \int S(\gamma) p(\gamma) d \gamma=S} \int_{0}^{\infty} B \log _{2}\left(1+\frac{S(\gamma) \gamma}{S}\right) p(\gamma) d \gamma \\ &=\max _{S(\gamma): \int S(\gamma) p(\gamma) d \gamma=S} \int_{0}^{\infty} B \log _{2}\left(1+\frac{S(\gamma) |h|^2}{N}\right) p(\gamma) d \gamma \end{align}$
数学上可以证明注水法为最优功率控制、信道衰落抵消为次优功率控制
- 最优功率控制-注水法：信道条件好时分配更多功率、信道条件差时分配较少或不分配功率，使得能正确传送的信号尽量正确传送
- 次优功率控制-信道衰落抵消：信道衰减大就分配更多功率，抵消衰落的影响、信道衰减小就分配更少功率，使得信道接近等效为AWGN信道

时间/频率选择性信道：考虑信道在时域与频域的选择性作用，通过注水法来获得最大容量

时不变频率选择性信道：只考虑信道在频域的选择性作用，在频域上注水，香农容量为：

$C_{\rm ergodic}=\sum_{\max P_{j}: \sum_{j} P_{j} \leq P} B \log _{2}\left(1+\frac{\left|H_{j}\right|^{2} P_{j}}{N_{0} B}\right)$
其中 $P_j=\max\{0,\frac{1}{\gamma_0}-\frac{N_0B}{\left|H_{j}\right|^{2}}\}$ ， $\gamma_0$ 为满足功率限制、使得 $\sum_{j} P_{j} \leq P$ 的常量。通常对于频选信道，会使用OFDM把频带分成 $K$ 个子带来看，每个子带为平坦衰落，上式信道容量也可以理解为 $K$ 个子信道的信道容量相加，其中每个子信道的功率为 $P_j|H_j|^2$ ， $j=1,2,\cdots,K$
时变频率选择性信道：先在频域进行注水，之后对每一个频域块内对时域再注水

4 MIMO信道容量

假设MIMO系统中有 $N_T$ 个发射单元， $N_R$ 个接受单元，记发送信号矢量为 $\boldsymbol{s}$ ，其自相关矩阵为 $R_{ss}=\mathbf{E}\{\boldsymbol{s}\boldsymbol{s}^H\}$ ，信号总的发送功率为 $\mathcal{E}_{s}$ ，接收端噪声矢量为 $\boldsymbol{n}$ ，其方差矩阵为 $R_{nn}=\sigma_z^2\boldsymbol{I}_{N_R}$ ，信道矩阵为 $\boldsymbol{H}$ ，接收信号矢量可以表示为 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{s}+\boldsymbol{n}$

MIMO信道容量的定义为某种 $\boldsymbol{s}$ 分布下，接收信号矢量与发送信号矢量之间的最大互信息：

C = max_{p (s)} I (s; y)

$C=\max _{p(\boldsymbol s)} I(\boldsymbol s ;\boldsymbol y)$

信息论中推导得到在任意给定 $\boldsymbol H$ 条件下，MIMO的信道容量为

C = max_{tr (R_{s s}) = E_{s}} \log_{2} \det (I_{N_{R}} + \frac{1}{σ_{z}^{2}} H R_{s s} H^{H}) b p s / H z

$C=\max _{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{R}_{s s}\right)=\mathcal{E}_{s}} \log _{2} \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{N_{R}}+\frac{1}{\sigma_z^2} \boldsymbol{H} \boldsymbol{R}_{s s} \boldsymbol{H}^{H}\right) \quad \mathrm{bps} / \mathrm{Hz}$

上式给出了MIMO信道容量的通用定义式，注意理解：

如果计算遍历容量，需要对上式取统计平均 $C_{\rm ergodic}=\mathbb{E}\{C\}$ ，在仿真时使用蒙特卡洛法，使用不同的 $\boldsymbol H$ 仿真上式后取平均
在论文中通常会看见一种特殊情况的MIMO信道容量公式，假定前提为发射信号矢量之间独立且等功率传输，有 $R_{ss}=\frac{\mathcal{E}_{s}}{N_T}\boldsymbol I_{N_T}$ ，MIMO信道容量此时化简为

$\begin{align} C&=\log _{2} \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{N_{R}}+\frac{\mathcal{E}_{s}}{N_{T}{\sigma_z^2}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{H}\right) \quad \mathrm{bps} / \mathrm{Hz} \\ &=\log _{2} \operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}_{N_{R}}+\frac{\rm SNR_{Tx}}{N_{T}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{H}\right) \quad \mathrm{bps} / \mathrm{Hz} \end{align}$
上式适用于任意种类的信道，特别地，对于频率选择性的MIMO信道，可以在频域对频带进行切割，通过频域注水获得最大容量，信道容量此时在上式可以进一步推导，写成多个子带信道容量的叠加形式，这里没有做更深入的研究

参考资料#

平坦衰落信道的香农容量：https://zhuanlan.zhihu.com/p/105119130
平坦衰落信道的中断容量、时频选择信道的香农容量：https://blog.csdn.net/whn19980801/article/details/115836403
Digital Communications, 5th ed., Chap 14.1, 14.2, and 15.2