通信基础知识｜OFDM基本原理

写在前面：本篇文章是最近学习OFDM基本原理的一些思考，主要参考了华为《MIMO-OFDM技术原理》中第9章的内容，很多问题是大学本科时没有学明白的，以此记录一下，供个人学习使用。

1 正交多载波调制原理#

OFDM是一种特殊的正交多载波传输技术，传统的多载波传输技术需要通过保留频率间隔来保证传输的可靠性，OFDM通过保证频域多个子载波之间的正交性来实现传输，不同的正交的子载波不影响其他子载波上信息的传送，提高了频带利用率。

在频域，每个子载波的频谱采用的是sinc函数形式的频谱，在时域对应的是方波函数。记住对于周期为 $T$ 的方波 $g(t)$ ，频域sinc函数的零点为 $k/T,k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ ，时域上方波函数用来携带信息符号

g (t) = {\begin{cases} 1, & 0 ⩽ t ⩽ T \\ 0, & 其他 \end{cases}

$g(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leqslant t \leqslant T \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.$

根据傅立叶变换的频移特性把频域的sinc函数平移到不同的子载波上，

g_{k} (t) = g (t) e^{j 2 π f_{k} t} = g (t) e^{j 2 π \frac{k}{T} t} \leftrightarrow G (f - \frac{k}{T})

$g_k(t)=g(t)e^{j2\pi f_kt}=g(t)e^{j2\pi \frac{k}{T}t} \leftrightarrow G(f-\frac{k}{T})$

在时域把多个携带信息符号 $d_k$ （基带调制后的符号）的子载波信号（时间范围为 $[0,T]$ ）叠加得到一个OFDM符号，一起发送出去。由于子载波通常在零频附近对称排列，那么包含 $N$ 个子载波信息的OFDM符号在时域的表达式可以写成

s (t) = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} g_{k} (t) = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π k t}{T}) g (t) = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π k t}{T})

$s(t)=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} d_kg_k(t)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k t}{T}\right) g(t)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k t}{T}\right)$

2 OFDM抗多径频率选择性衰落原理#

频率选择性衰落主要是由于多径效应，信号经过不同的路径传播，到达接收端时会经历不同的衰落，引起信道对不同频率分量的影响不同。相干带宽与信道的多径时延扩展成反比，多径时延扩展越大，相干带宽越小。如果信号的周期远大于多径时延扩展，那么多径引起的频率选择性衰落的影响可以忽略不计，可以认为发生频率非选择性衰落。

在OFDM中，高速串行的数据被串并转换到多个正交的子载波上，变成低速的并行多载波信号，信号的周期会增大，因此对抗频率选择性衰落的能力也相应增强了。

3 IFFT/FFT快速实现OFDM#

首先回顾一下IDFT与DFT，即离散傅里叶变换：

X (k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j 2 π n k / N} x (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (k) e^{j 2 π k n / N}

$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi nk/N} \\ x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$

对OFDM时域符号 $s(t)$ 以周期为 $T/N$ 采样，那么有

这里再讨论一下对OFDM符号的采样频率：一个OFDM符号的频谱由 $N$ 个子载波组成，在零频附近对称排列有 $N/2$ 个sinc函数，零点为 $k/T,k=\pm1,\pm2,\cdots$ ，那么其截止频率大约为 $N/2*1/T=\frac{N}{2T}$ 。为了满足采样定理，采样频率最低为 $N/T$ ，对应的采样周期为 $T/N$ 。这里的采样周期是符合采样定理的。

s_{n} = s (t) |_{t = n \frac{T}{N}} = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π k}{T} * \frac{n T}{N}) = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N})

$s_n = s(t)|_{t=n\frac{T}{N}}=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi k }{T}*\frac{nT}{N}\right)=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)$

可以看到采样后的OFDM符号与IDFT的表达式非常类似，仔细观察，发现只相差 $\frac{1}{N}$ 的系数与 $k$ 的求和范围，那么可以考虑利用快速傅里叶变换IFFT来实现OFDM的采样后的序列，再经过数模转换得到时域的模拟信号。那么有

\begin{aligned} s_{n} & = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N}) \\ = \sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N}) + \sum_{k = - N / 2}^{0} d_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N}) \\ = \sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} d_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N}) + \sum_{\tilde{k} = N / 2}^{N - 1} d_{\tilde{k} - N} \exp (j \frac{2 π n (\tilde{k} - N)}{N}) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} a_{k} \exp (j \frac{2 π n k}{N}) \end{aligned}

$\begin{aligned} s_n&=\sum_{k=-N / 2}^{N / 2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{N/2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)+\sum_{k=-N/2}^{0} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \\ &=\sum_{k=0}^{N/2-1} d_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)+\sum_{\tilde k=N/2}^{N-1} d_{\tilde k-N} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi n(\tilde k-N)}{N}\right) \\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right) \end{aligned}$

可以看到，把 $d_k$ 重新排列，并且乘上 $N$ 系数补偿得到 $a_k$ ，之后再对 $a_k$ 做IFFT就可以得到OFDM符号的采样序列 $s_n$ 。实际上，IFFT通常是直接用FFT的算法来实现的，只是指数项缺少一个负号以及系数 $1/N$ 的差别，实际做的时候又会FFT后再乘以 $1/N$ 。因此就可以不用先乘以 $N$ 补偿系数，直接把 $d_k$ 进行重新排列，然后利用FFT的算法实现 $\sum_{k=0}^{N-1} a_{k} \exp \left(\mathrm{j} \frac{2 \pi nk}{N}\right)$ 就可以了，有

a_{k} = {\begin{cases} d_{k}, & 0 ⩽ k ⩽ \frac{N}{2} - 1 \\ d_{k - N}, & \frac{N}{2} ⩽ k ⩽ N - 1 \end{cases}

$a_{k}=\left\{\begin{array}{ll} d_{k}, & 0 \leqslant k \leqslant \frac{N}{2}-1 \\ d_{k-N}, & \frac{N}{2} \leqslant k \leqslant N-1 \end{array}\right.$

在接收端，同样的道理，对接收到的时域信号进行采样，然后做FFT，可以得到接收端解调后的符号（记为 $b_k$ ）。

总结：之所以可以用IFFT/FFT来快速实现OFDM，是因为叠加得到的时域上的多个正交子载波的信号 $s(t)$ 通过模数转换后的形式与IFFT非常类似，可以通过信息符号重排列后进行IFFT再经过数模转换得到 $s(t)$ 。

4 保护频带与保护间隔#

4.1 保护频带：加窗#

随着载波数量增大，OFDM信号的带外衰减引起的问题越来越严重，通常需要在OFDM信号占用带宽的最左侧与最右侧添加两个保护频带，保护频带中的子载波被设置为零，以此来加快OFDM信号的带外衰减，让带外发射的能量足够小，防止对相邻频带的干扰。这一操作也是对OFDM符号进行频域上的加窗。

4.2 保护间隔：加CP#

由于无线信道的多径效应，接收信号通常是发送信号经过不同衰减、不同时延的多个副本的叠加，传输信息的符号所占的时间会相应的扩展。前一个符号经过时延扩展后如果与后一个符号的时间范围重叠了，就会引起符号间的干扰（Inter-symbol Interference，ISI）。在OFDM中，通常通过循环前缀（Cyclic Prefix，CP）来解决多径引起的ISI问题，在每个OFDM符号前添加该符号的一部分作为保护间隔。

一方面，保护间隔将多径效应引起的ISI问题限制在保护间隔的范围内，让OFDM符号不受影响，CP的长度需要大于信道的多径时延扩展
另一方面，循环前缀保护了OFDM符号中的正交性，避免了空闲保护间隔引起的子载波间干扰。

5 OFDM时间偏移与频率偏移的影响#

时间偏移：时域上的同步偏移在频域表现为相位偏移，在接收机进行信道估计时会包含在估计得到的等效信道中，通常对系统影响不大；另一方面OFDM引入了CP，能够容忍一定的符号定位误差，OFDM对时间偏移并不敏感
频率偏移：OFDM一个符号中包含多个正交子载波的叠加，各个子载波之间通过正交性来区分。通常多普勒频移与收发端载波频偏会引起频率偏移，OFDM系统对频偏非常敏感，因为频偏影响子载波之间的正交性，引起子载波间的干扰（Inter-carrier Interference，ICI），在时域上会引起信号的相位旋转，造成系统性能降低

6 OFDM参数折衷#

在OFDM中，需要考虑在信号带宽一定的情况下，如何选择最优的子载波数量 $N$ ：

N越大：在一个OFDM符号中传输的信息越多，频谱效率越高
N越大：FFT的复杂度也越大；
N越大：子载波越多，子载波之间的间隔会变小，那么对频偏就会更敏感（频率间隔小，非常小的频偏就可能会引起ICI）
N越大：OFDM中子载波间隔为 $1/T$ ，带宽一定时，N越大， $T$ 越大，那么循环前缀CP长度也会增大，更能容忍更大的时延扩展

因此可以看到OFDM中最优的子载波数量 $N$ 需要同时考虑对多普勒频移、多径时延扩展、频谱效率进行折衷

7 OFDM接收特性与FFT本质的思考#

假设发送的调制符号为 $d_k$ （即经过QAM、PSK等映射后的基带符号），经过重组后得到 $a_k$ ，IFFT后得到时域的OFDM符号 $s(t)$ 发送出去。信道的等效基带CIR与CTF为 $h(t)$ 与 $H(f)$ ，注意不考虑高频带通传输，只考虑等效的基带传输。在接收端，最后解调出来的符号假设为 $b_k$ 。