对似然函数的理解

一直对贝叶斯里面的似然函数（likelihood function），先验概率（prior），后验概率（posterior）理解得不是很好，今天仿佛有了新的理解，记录一下。

看论文的时候读到这样一句话：

原来只关注公式，所以一带而过。再重新看这个公式前的描述，细思极恐。

the likelihood function of the parameters θ = {w,α,β} given the observations D can be factored as..

两个疑问：likelihood function为什么会写成条件概率的形式？given的明明是D，为什么到后面的公式里，却变成了given θ 呢？

百度了一下，先贴上wikipedia的解释：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0

下面整理一下自己的理解，借用wikipedia里面硬币的例子。

常说的概率是指给定参数后，预测即将发生的事件的可能性。拿硬币这个例子来说，我们已知一枚均匀硬币的正反面概率分别是0.5，要预测抛两次硬币，硬币都朝上的概率：

H代表Head，表示头朝上

p(HH | pH = 0.5) = 0.5*0.5 = 0.25.

这种写法其实有点误导，后面的这个p其实是作为参数存在的，而不是一个随机变量，因此不能算作是条件概率，更靠谱的写法应该是 p(HH;p=0.5)。

而似然概率正好与这个过程相反，我们关注的量不再是事件的发生概率，而是已知发生了某些事件，我们希望知道参数应该是多少。

现在我们已经抛了两次硬币，并且知道了结果是两次头朝上，这时候，我希望知道这枚硬币抛出去正面朝上的概率为0.5的概率是多少？正面朝上的概率为0.8的概率是多少？

如果我们希望知道正面朝上概率为0.5的概率，这个东西就叫做似然函数，可以说成是对某一个参数的猜想（p=0.5）的概率，这样表示成(条件)概率就是

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = （另一种写法）P(HH;pH=0.5).

为什么可以写成这样？我觉得可以这样来想：

似然函数本身也是一种概率，我们可以把L(pH=0.5|HH)写成P(pH=0.5|HH); 而根据贝叶斯公式，P(pH=0.5|HH) = P(pH=0.5,HH)/P(HH)；既然HH是已经发生的事件，理所当然P(HH) = 1,所以：

P(pH=0.5|HH)  = P(pH=0.5,HH) = P(HH;pH=0.5).

右边的这个计算我们很熟悉了，就是已知头朝上概率为0.5，求抛两次都是H的概率，即0.5*0.5=0.25。

所以，我们可以safely得到:

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = 0.25.

这个0.25的意思是，在已知抛出两个正面的情况下，pH = 0.5的概率等于0.25。

再算一下

L(pH=0.6|HH) = P(HH|pH=0.6) = 0.36.

把pH从0~1的取值所得到的似然函数的曲线画出来得到这样一张图：

（来自wikipedia）

可以发现，pH = 1的概率是最大的。

即L(pH = 1|HH) = 1。

那么最大似然概率的问题也就好理解了。

最大似然概率，就是在已知观测的数据的前提下，找到使得似然概率最大的参数值。

这就不难理解，在data mining领域，许多求参数的方法最终都归结为最大化似然概率的问题。

回到这个硬币的例子上来，在观测到HH的情况下，pH = 1是最合理的（却未必符合真实情况，因为数据量太少的缘故）。

先理解这么多。