Bzoj-2818 Gcd 欧拉函数

　　题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

　　题意：给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

　　其实就是一个转化问题，求gcd(x, y) = k, 1 <= x, y <= n的对数等于求gcd(x, y) = 1, 1 <= x, y <= n/k的对数。那么接下来我们就只要枚举每个素数k=prime[i]了，然后用到欧拉函数就可以求出来了，Σ( 2*Σ( phi[n/prime[i]] ) - 1 )。这里因为n比较大，因此我们需要线性筛法求出欧拉函数的表，然后直接遍历。我以往的phitable模板是 O(∑p<nn/p)=O(nloglogn)的，今天见识到了O(n)的复杂度的phitable，在<这里>有详细介绍。现摘录如下：

下面代码就是带有计算欧拉函数的线性筛素数。代码原型的起源已经无从考证，可以作出一个合理的揣测，是某位搞OI或者ACM/ICPC的神牛第一次写出来的。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

bool com[MAXN]; int primes, prime[MAXN], phi[MAXN]; phi[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!com[i]) { prime[primes++] = i; phi[i] = i-1; } for (int j = 0; j < primes && i*prime[j] <= n; ++j) { com[i*prime[j]] = true; if (i % prime[j]) phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1); else { phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; break; } } }

最难理解的是这句话：

if (i % prime[j] == 0) break;

要理解这句话，（顺便不严谨地）证明这个算法的时间复杂度和正确性，要从下面两个方面：

• 每个数至少被访问一次
• 每个数至多被访问一次

每个数至少被访问一次

对于质数，一定会在i的循环中访问到，并确定为质数。

对于合数，因为每一个合数都可以表示成它最小的质因数和另一个数的乘积，而我们枚举了所有的另一个数（也就是i），所以它一定会被它的最小质因数筛掉。

每个数至多被访问一次

对于质数，不可能在j的循环中被访问到，因此仅会在i的循环中被访问到恰好一次。

对于合数，对于i = i1 = p * a，因为在i1 % prime[j1] == 0时break，所以不可能出现一个数x = i1 * prime[k] = p * a * prime[k] (k > j1)在i = i1, j = k的时候被筛掉一次，又在i = a * prime[k]的时候被p给筛掉的情况。

证毕

综上所述，每个数被访问一次且仅访问一次！因此整个算法的复杂度是O(n)的。

————————————————————我是分割线————————————————————

主要是用到了递推优化：

如果i%prime[j]，那么phi[i*prime[j]]=n(p1-1)/p1*...(pn-1)/pn*(prime[j]-1)/prime[j]*prime[j]=phi[i]*(prime[j]-1)

否则：phi[i*prime[j]]=n(p1-1)/p1*...(pn-1)/pn*prime[j]=phi[i]*(prime[j]-1)

//STATUS:C++_AC_856MS_118460KB
#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
//#include <ext/rope>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
//using namespace __gnu_cxx;
//define
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1.0)
//typedef
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
//const
const int N=10000010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=100000,STA=8000010;
const LL LNF=1LL<<60;
const double EPS=1e-8;
const double OO=1e15;
const int dx[4]={-1,0,1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//Daily Use ...
inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
//
 
LL phi[N];
int prime[N];
int cnt;
 
void phi_and_prime_table(int n)
{
    int i,j;
    cnt=0;phi[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!phi[i]){
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){
            if(i%prime[j])
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
        }
    }
}
 
int n;
 
int main(){
 //   freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j;
    LL ans;
    scanf("%d",&n);
    cnt=0;
    phi_and_prime_table(n);
    for(i=2;i<=n/2;i++)phi[i]+=phi[i-1];
    ans=0;
    for(i=0;i<cnt;i++){
        ans+=(phi[n/prime[i]]<<1)-1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}