FFT 与 NTT
多项式的表示
系数表示法：即 \(f(x)=\sum \limits_{i=0}^n a_i \times x^i\) 的形式。
点值表示法：即给定 \(n+1\) 个互不相同的点的坐标来确定一个多项式。
复数
定义一个数 \(i=\sqrt{-1}\) ，则所有形如 \(a+bi\)（\(a,b \in \mathbf{R}\)）的数称为复数，以复数构成的集合即为复数集 \(\mathbf{C}\) 。
对于一个这样的数，称 \(a\) 为它的实部， \(b\) 为它的虚部。
复平面为一个平面直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴。
每个复数都在复平面上对应着一个坐标为 \((a,b)\) 的点，也对应着一个从原点到 \((a,b)\) 的向量。
这个向量与实轴正方向的夹角即称为该复数的辐角。（若向量在实轴下方则辐角大于180度）
复数 \(x=a+bi\) 的模长定义为它在复平面上到原点的距离，记作 \(|x|\) ，即 \(|x|=\sqrt{a^2+b^2}\) 。
定义一个复数在复平面上所对应的点关于实轴对称后，所得到的点所对应的复数与它互为共轭复数。
对于一个复数 \(x=a+bi\) ，它的共轭复数即为 \(\bar x=a-bi\) 。
复数的运算法则
加法：\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\) 。
减法：\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\) 。
乘法：
\((a+bi) \times (c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i\) 。
在复平面上，乘积的辐角等于两个乘数的辐角之和，模长等于两个乘数的模长之积。
除法：\(\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i\) 。
欧拉公式：\(e^{i \theta}=\cos \theta +i \sin \theta\) 。
单位根
在复数意义下，满足 \(x^n=1\) 的 \(x\) 称为 \(n\) 次单位根。
定义 \(n\) 次单位根 \(\omega_n=e^{\frac{2 \pi i}{n}}\) ，则上面方程中 \(x\) 的解集就可以表示为 \(\{\omega_n^k|k=0,1, \cdots n-1\}\) 。
性质：\(\omega_n^k=\omega_{2n}^{2k}\) ， \(\omega_{2n}^{k+n}=-\omega_{2n}^k\) 。
单位根可以用上面的欧拉公式展开计算。
在几何意义上，单位根就是把单位圆 \(n\) 等分后第一个在圆周上的数。
FFT
下面以多项式乘法为例。
考虑用点值表示法求多项式乘法的过程，
设一个多项式为 \(f(x)\) ， 另一个多项式为 \(g(x)\) ，
那么，要找到 \(n+1\) 个在它们乘积的多项式上的点。
先在第一个多项式上找到 \(n+1\) 个点： \((x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)), \cdots ,(x_{n+1},f(x_{n+1}))\) ，
同样地，在第二个多项式上找到 \(n+1\) 个点：\((x_1,g(x_1)),(x_2,g(x_2)), \cdots ,(x_{n+1},g(x_{n+1}))\) ，
则可以得到在它们乘积的多项式上的 \(n+1\) 个点：\((x_1,f(x_1) \times g(x_1)),(x_2,f(x_2) \times g(x_2)), \cdots ,(x_{n+1},f(x_{n+1}) \times g(x_{n+1}))\) 。
但是，这样做的复杂度明显太高。
考虑选点时选 \(1,-1\) 等幂具有特殊性质的数。
这里，就可以选择单位根。
考虑如何利用单位根的性质来优化上述过程。
设多项式 \(f(x)=a_0+a_1 \times x+a_2 \times x^2+a_3 \times x^3 + \cdots + a_{n-1} \times x^{n-1}\) ，
按奇偶分组，得到 \(f(x)=(a_0+a_2 \times x^2+a_4 \times x^4+ \cdots +a_{n-2} \times x^{n-2})+(a_1 \times x+a_3 \times x^3+a_5 \times x^5 + \cdots +a_{n-1} \times x^{n-1})\) ，
设 \(g(x)=a_0+a_2 \times x +a_4 \times x^2 + \cdots +a_{n-2} \times x^{\frac{n}{2}-1}\) ， \(h(x)=a_1+a_3 \times x+a_5 \times x^2+ \cdots +a_{n-1} \times x^{\frac{n}{2}-1}\) ，
那么， \(f(x)=g(x^2)+xh(x^2)\) 。
用 \(\omega_n^k\) （\(k< \frac{n}{2}\)）代入，根据单位根的性质，得 \(f(\omega_n^k)=g(\omega_n^{2k})+\omega_n^k h(\omega_n^{2k})=g(\omega_{\frac{n}{2}}^k)+\omega_n^kh(\omega_{\frac{n}{2}}^k)\) 。
接下来，用 \(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}\) 代入，得 \(f(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=g(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}h(\omega_n^{2k+n})=g(\omega_n^{2k})-\omega_n^k h(\omega_n^{2k})=g(\omega_{\frac{n}{2}}^k)-\omega_n^kh(\omega_{\frac{n}{2}}^k)\) 。
这两个式子形式相同，可以一起算，然后分别递归求解。
注意要先补齐长度到 \(2^m\) 项。
但是，递归的常数极大，考虑能不能把递归转为迭代。
在递归时，因为是按照奇偶递归的，所以如果我们能求出递归到最后时的系数数组，就可以迭代实现了。
找一下规律，以一个 8 项多项式为例。
原数列： \(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) ，
新数列： \(a_0,a_4,a_2,a_6,a_1,a_5,a_3,a_7\) 。
可以发现，新数列的下标就是原数列下标用二进制表示后翻转。
考虑怎么求翻转后的数，这个是可以 dp 求的。
从小到大求，这样在求到每个数时，设它的二进制有 \(n\) 位，则在此之前前 \(n-1\) 位翻转后的数一定已经求出来了，那么，只需把最后一位的贡献加上即可。
但是，只是这样还不够。我们还需要一个快速把点值表示转化为系数表示的方法。
设多项式 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{a_i}\) 经过前面的变换后得到的点值为 \({b_i}\) ，即 \(b_k= \sum \limits_{i=0}^{n-1} a_i \times \omega_n^{ik}\) ，
现在，我们要根据 \(b\) 还原出 \(a\) 。
直接给出结论： \(a_k= \frac{1}{n} \sum \limits_{i=0}^{n-1} b_i \times \omega_n^{-ik}\) 。
所以，取单位根为原来的倒数，直接对 \(b\) 跑一遍前面的过程，最后再除以 \(n\) 即可。
而单位根的倒数用前面的欧拉公式展开后形式是和单位根类似的，所以两种变化可以合在一起写。
void FFT(cp *a,int tp,int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int l=1;l<n;l*=2)
{
cp w=(cp){cos(PI/(db)(l)),(db)(tp)*sin(PI/(db)(l))};
//前面枚举的是长度的一半，所以这里不用*2
for(int i=0;i<n;i+=l*2)
{
cp W=(cp){1,0};
for(int k=0;k<l;k++,W=W*w)
{
cp x=a[i+k],y=W*a[i+k+l];
a[i+k]=x+y,a[i+k+l]=x-y;
}
}
}
}
NTT
FFT 中用到了很多实数运算，所以精度不高。
主要的问题就是单位根是个复数，考虑能不能用一个整数代替。
单位根能用于 FFT ，原因就是性质优秀，所以，我们要找的就是满足单位根的一些性质的数。
而在模 \(p\) 意义下，就可以找到这样的数。
设 \(p\) 的原根为 \(g\) ，则 \(g^{\frac{p-1}{n}} \pmod p\) 就可以用于替代单位根。
对着单位根的几个性质推一推，可以发现都成立。
void NTT(int *a,int tp,int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int l=1;l<n;l*=2)
{
int w=POW(tp?g:invg,(p-1)/(l*2));
for(int i=0;i<n;i+=l*2)
{
int W=1;
for(int k=0;k<l;k++,W=W*w%p)
{
int x=a[i+k],y=W*a[i+k+l]%p;
a[i+k]=(x+y)%p,a[i+k+l]=(x-y+p)%p;
}
}
}
}
