长链剖分

一些定义

重儿子：子节点中 子树深度 最大的节点。
轻儿子：除重儿子外的其它子节点。
重边：从一个点到其重儿子的边。
轻边：从一个点到其轻儿子的边。
重链：若干条相连的重边形成的链。单独的节点也看作重链。

那么，一棵树就可以拆分为若干条极长的重链。
实现与重链剖分类似。

一些性质

1.所有链长度之和是 \(O(n)\) 级别的。
2.任何一个节点的 \(k\) 级祖先所在的链的长度大于等于 \(k\) 。
3.任何一个节点跳到根所跳的次数不会超过 \(\sqrt{n}\) 次。

应用

1
题意即在线求树上 \(k\) 级祖先。
考虑把 \(k\) 折半，假设得到的数是 \(r\) 。
根据上面的第 2 条性质 ， \(r\) 级祖先所在的重链长度不短于 \(r\) 。
所以，我们只要预处理出每条重链上的所有点以及链顶的 1~链长 级祖先，
这样，在知道 \(r\) 级祖先后，即可 \(O(1)\) 算出 \(k\) 级祖先。
但是，如果直接这么做，复杂度仍然是 \(O(\log n)\) ,这样的复杂度和倍增一样，还是不够优秀。
接下来，可以发现只要满足 \(r>k/2\) 即可用上面的做法做。
考虑让 \(r=highbit(k)\) ， \(highbit(k)\) 即 \(k\) 在二进制下最高位所代表的值。
这样，用倍增预处理后，即可得到一个 \(O(n \log n)-O(1)\) 的做法。
2
先考虑一个 \(O(n^2)\) 的做法。
树形 dp ，
设 \(dis(i,j)\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的距离。
设 \(f_{i,j}\) 表示满足 \(x\) 在 \(i\) 的子树中且 \(dis(x,i)=j\) 的 \(x\) 的个数。
设 \(g_{i,j}\) 表示满足 \(x\) ， \(y\) 在 \(i\) 的子树中且 \(dis(lca(x,y),x)=dis(lca(x,y),y)=dis(lca(x,y),i)+j\) 的数对 \((x,y)\) 的个数。（\(x \neq y\)）
考虑在扫到点 \(i\) 时的转移：
\(ans+=g_{i,0}\) ，
\(ans+=\sum \limits_{x,y \in son(i),x \neq y} f_{x,j-1} \times g_{y,j+1}\) ,
\(g_{i,j}+=\sum \limits_{x,y \in son(i),x \neq y} f_{x,j-1} \times f_{y,j-1}\) ,
\(g_{i,j}+=\sum \limits_{x \in son(i)} g_{x,j+1}\) ,
\(f_{i,j}+=\sum \limits_{x \in son(i)} f_{x,j-1}\) 。
这些转移画个图就可以理解了，而且并不是重点。
这样直接做可以得到一个 \(O(n^3)\) 的做法，用前缀和优化即可变成 \(O(n^2)\) 。
考虑继续优化这个算法。
长链剖分，对于重儿子，直接继承它的值，对于轻儿子，它一定是一条重链的顶端，所以直接暴力往下合并。
这样，算法的复杂度变为 \(O(\sum\) 链长 \()\) ，即 \(O(n)\) 。
可以用指针实现，比较方便。
总结：维护与链长，即深度有关的信息时，可以考虑使用长链剖分优化转移。
3
比较显然的贪心策略：每次找到一条最长的路径，记录答案后把路径上的权值清零。
这个策略可以用长链剖分优化。
令链长为这条链上所有点的权值和。
可以发现，因为重链不重合，其实这个贪心就可以转化为选链长最大的 \(k\) 条重链。