Polya 定理

一些概念

群
设有一个集合 \(G\) ，再设一种作用于 \(G\) 的二元运算 \(X\) 。
若其满足以下 \(4\) 个性质，则称其为一个群，记为 \((G,X)\) ：
\(1.\) 封闭性：若 \(a \in G\) ， \(b \in G\) ，则有 \(a\ X\ b \in G\) 。
\(2.\) 结合律：对于任意 \(a \in G\) ， \(b \in G\) ， \(c \in G\) ，有 \((a\ X\ b)\ X\ c=a\ X\ (b\ X\ c)\) 。
\(3.\) 单位元：存在 \(e \in G\) ，使得对于任意 \(a \in G\) ，有 \(a\ X\ e=e\ X\ a\) 。称 \(e\) 为单位元，单位元唯一。
\(4.\) 逆元：
对于任意 \(a \in G\) ， 存在 \(b \in G\) ，使得 \(a\ X\ b=b\ X\ a=e\) （此处的 \(e\) 指单位元）。
称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记 \(b=a^{-1}\) 。逆元也唯一。
子群
若 \((G,X)\) 是群， \(S\) 是 \(G\) 的非空子集，且 \((S,X)\) 也是群，则称 \((S,X)\) 是 \((G,X)\) 的子群。
置换
一个集合 \(S=\{a_1,a_2, \cdots ,a_n\}\) 上的置换可以表示为 \(f= \left ( \begin{array}{**lr**} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{p_1} & a_{p_2} & \cdots & a_{p_n} \end{array} \right ) \)，表示将 \(a_i\) 映射为 \(a_{p_i}\) 。
（其中，\(p_1,p_2, \cdots ,p_n\) 为 \(1\) 到 \(n\) 的一个排列）
\(S\) 上所有置换的数量为 \(n!\) 。
置换的乘法
对于两个置换 \(f= \left ( \begin{array}{**lr**} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{p_1} & a_{p_2} & \cdots & a_{p_n} \end{array} \right ) \) 和 \(g= \left ( \begin{array}{**lr**} a_{p_1} & a_{p_2} & \cdots & a_{p_n}\\ a_{q_1} & a_{q_2} & \cdots & a_{q_n} \end{array} \right ) \) ，
\(f\) 和 \(g\) 的乘积记为 \(f \circ g\) ，
\(f \circ g=\) \( \left ( \begin{array}{**lr**} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_{q_1} & a_{q_2} & \cdots & a_{q_n} \end{array} \right ) \) 。
本质上，就是让 \(a_1,a_2, \cdots ,a_n\) 先经过 \(f\) 的映射，再经过 \(g\) 的映射。
置换群
同样设一个集合 \(S=\{a_1,a_2, \cdots ,a_n\}\) ,
可以得到，集合 \(S\) 上的所有置换关于置换的乘法构成一个群。
这个群的任意一个子群即称为置换群。
循环置换
循环置换是一类特殊的置换，可表示为
\((a_1,a_2, \cdots ,a_n)=\) \( \left ( \begin{array}{**lr**} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n\\ a_2 & a_3 & \cdots & a_n & a_1 \end{array} \right ) \) 。
若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是不相交的。
任意一个置换都可以分解为若干个不相交的循环置换的乘积。

Burnside 引理

对于一个置换 \(f\) ，若 \(S\) 经过置换后不变，则称 \(S\) 为 \(f\) 的不动点。
设 \(C(S)\) 表示 \(S\) 这个置换的不动点数量， \(L\) 表示本质不同的方案数（即答案） ，
则 \(L=\frac{1}{|G|} \sum \limits_{a \in G} C(a)\) 。
其中， \(G\) 为一个置换群，是会产生等价方案的置换的集合。 \(|G|\) 表示 \(G\) 的大小。
（例如，在染色问题中，\(G\) 即为所有翻转操作的置换的集合）
但是，计算不动点个数过于繁琐，所以引入 Polya 定理。

Polya 定理

其实， Polya 定理和 Burnside 定理并没有本质上的区别，仅仅是优化了计算不动点个数的部分。
设两个集合 \(A\) ， \(B\) ，表示问题本质上就是从 \(A\) 到 \(B\) 的映射。
（例如，同样在染色问题中，\(A\) 为点集， \(B\) 为颜色的集合）
定义 \(c(S)\) 表示置换 \(S\) 能拆分成的不相交的循环置换的数量，
则 \(L=\frac{1}{|G|} \sum \limits_{a \in G} |B|^{c(a)}\) 。
证明
考虑若 \(S\) 是置换 \(f\) 的不动点，则对于 \(f\) 可拆分成的每个不相交的循环置换， \(S\) 中这些元素的值一定是相等的。
每个循环置换可以分配到一个值，共有 \(|B|\) 个值，所以 \(C(a)=|B|^{c(a)}\) 。
把上式代入 Burnside 引理，即可得到 Polya 定理。

例题

1
有一个长度为 \(n\) 的环，上面写着'X'和'E'，问本质不同的环有多少种。(\(n \leq 200000\))
（本质不同，指经过旋转后不同）
在这个问题中， \(G\) 就是旋转 \(1\) 到 \(n-1\) 次分别对应的置换。
所以，这个问题本质上就是在求旋转 \(i\) 次时对应的置换所能拆分成的不相交的循环置换的数量。
考虑旋转 \(i\) 次时， \(1\) 会映射到 \(i+1\) ， 再映射到 \(2i+1\) \(\cdots\) 。
显然，它们处于同一个循环置换中。
所以，单个循环置换的大小就是找到一个最小的 \(k\) ，使得 \(ki+1 \equiv 1\ (\bmod \ n)\) 。
这个式子等价于 \(ki \bmod n=0\) ，所以 \(k=\frac{lcm(n,i)}{i}\) 。
因为每个循环置换长度相等，所以这个置换能拆分成 \(\frac{ni}{lcm(n,i)}=\gcd(n,i)\) 个循环置换。
套用 Polya 定理算即可。
接下来，考虑一个加强的版本。
有 \(n\) 种颜色，且 \(n \leq 10^9\) 。
想要优化复杂度，只能优化式子。
\(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^nn^{\gcd(n,i)}\)
枚举 gcd ，变为
\(\frac{1}{n} \sum_{d|n}n^d*\sum \limits _{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]\) ，
即 \(\frac{1}{n} \sum_{d|n}n^d*\varphi(\frac{n}{d})\) 。
其中，欧拉函数可以直接暴力算。
2.[HNOI2008]Cards
因为题目中有这样一句限制，
输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m 种洗牌法中的一种代替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。
所以，所有洗牌法构成的集合满足封闭性、结合律、有逆元。
但是，还没有单位元，所以并不能构成群，无法使用 Burnside 引理或 Polya 定理计算。
所以，要加入一个自己映射到自己的置换，这样就有单位元了，且不会对答案产生影响。
因为有每种颜色数量的限制，所以不能用 Polya 定理，所以考虑用 Burnside 引理。
对于每个置换，算出它能拆分成的每个循环置换的大小，用类似背包的方法求出方案数，套用 Burnside 引理即可。