Codeforces 2009E Klee's SUPER DUPER LARGE Array!!! 题解 [ 黄 ] [ 三分 ]

Klee's SUPER DUPER LARGE Array!!!：整数三分板子，以前一直都不会打，现在记录一下。

观察

推式子可知，$S=|\frac{(2k+x-1)x-(2k+n-1+x)(n-x)}{2}|$。

观察可知他是个二次函数，然后还套了个绝对值，因为 $1\le x\le n$，所以他是单峰的，显然能够三分。

三分

先放板子。

凹函数

ll l=1,r=n,lmid,rmid,lans,rans;
while(l<r)
{
    lmid=l+(r-l)/3,rmid=r-(r-l)/3;
    lans=cal(lmid),rans=cal(rmid);
    if(lans<=rans)r=rmid-1;
    else l=lmid+1;
}
return l;

凸函数

ll l=1,r=n,lmid,rmid,lans,rans;
while(l<r)
{
    lmid=l+(r-l)/3,rmid=r-(r-l)/3;
    lans=cal(lmid),rans=cal(rmid);
    if(lans>=rans)r=rmid-1;
    else l=lmid+1;
}
return l;

细节

这里三分不用特判边界问题的原因是当区间长度小于等于 $3$ 的时候它的 $lmid$ 和 $rmid$ 都只会取到边界上，所以是一点一点地进行缩小范围的，所以不需要特判边界，最后的答案取 $l$ 或者 $r$ 都是可以的。这种写法 $l$ 与 $r$ 的初始值是闭区间。

同时注意三分只能用于严格单峰的函数，不能存在一段函数使得这段函数值都相等，因为这样就无法判断单峰的位置了。但是如果这一段就是峰顶应该是可以的，因为三分默认把 $lmid$ 和 $rmid$ 值相等的情况当成单峰在中间的情况处理。

所以这题就是个整数三分的板子了，直接处理即可，时间复杂度 $O(t\log n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
ll n,k;
ll cal(ll x)
{
    return abs(((2*k+x-1)*x-(2*k+n-1+x)*(n-x))/2);
}
void solve()
{
    cin>>n>>k;
    ll l=1,r=n,lmid,rmid,lans,rans;
    while(l<r)
    {
        lmid=l+(r-l)/3,rmid=r-(r-l)/3;
        lans=cal(lmid),rans=cal(rmid);
        if(lans<=rans)r=rmid-1;
        else l=lmid+1;
    }
    cout<<cal(l)<<'\n';
}
int main()
{
    //freopen("sample.in","r",stdin);
    //freopen("sample.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)solve();
    return 0;
}