Hetao P1391 操作序列 题解 [ 绿 ] [ 二维线性 dp ]

操作序列:简单的二维 dp。

观察

我们每次操作可以让 x 变为 2x1,或者当 x 为奇数时让 x 变为 x+12

显然,执行第一种操作,会使 x 变成奇数。

那一旦我们连续执行两次操作,x 就会变为:

(2x+1)12=2x2=x

也就是说,当 x 为奇数时,这两个操作互逆。当 x 为偶数时,无法操作。

因此,在任何时候,第一次操作的次数都要大于等于第二次操作的次数。这像极了括号匹配,任何时候左括号必须大于右括号。

其中左括号是操作 1,右括号是操作 2

dp 设计

于是我们可以先在 x 为奇数时把 x 不断执行第二种操作直到变成偶数,相当于往栈里丢了几个左括号。

然后接下来我们对每次操作考虑,定义 dpi,j 表示考虑前 i 位,目前栈里有 j 个左括号的方案数。

然后很显然的转移:

dpi,j=j=1n+sdpi1,j1+j=0n+s1dpi1,j+1

其中 s 表示一开始加进栈里面的左括号个数。

时间复杂度 O(n2),可过。

其实这题可以用滚动数组优化,但是不用滚动数组仍然可以过。因为我懒,就不写滚动数组了。

特判

注意到当最后 x 能变成 1 时,无论何时使用操作 1 或者操作 2 都可以。于是此时答案就是 2n

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
const ll mod=998244353;
ll dp[5005][6005],n,s,ans=0;
int main()
{
	freopen("op.in","r",stdin);
	freopen("op.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>s;
	int tmp=s,qs=0;
	while(tmp%2==1&&tmp>1)
	{
		tmp=(tmp+1)/2;
		qs++;
	}
	if(tmp!=1)
	{
		dp[0][qs]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=6000;j++)
			{
				dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i][j])%mod;
			}
			for(int j=0;j<=6000;j++)
			{
				dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j+1])%mod;
			}
		}
		for(int i=0;i<=6000;i++)ans=(ans+dp[n][i])%mod;
		cout<<ans%mod;
		return 0;
	}
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][0]=(dp[i-1][0]*2)%mod;
	cout<<dp[n][0];
	return 0;
}

坑点

dp 转移上限不能直接设为 n,因为一开始会多丢 log 个左括号进去。

posted @   KS_Fszha  阅读(9)  评论(0编辑  收藏  举报
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