期望 与 概率论 学习笔记

概率基本知识

套路

dp 常用正推的方式，从起始状态到目标状态。

实际要根据是起始和目标状态哪个好确定、哪个好想来决定，这个没有限制，大部分题两种顺序都可以。

常用公式

1. 贝叶斯公式：\(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)。
2. 几何概型。构造几何模型之后求面积即可。
3. 几何分布概率：\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)。
4. 二项分布概率：\(P(X=k)=C_{n}^{k}(1-p)^{(n-k)}p^k\)
5. 超几何分布概率：

\[P(X=k)=\frac{C_{K}^{k}C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}} \]

误区

有时候某些情况的出现概率不均等，此时不能直接用满足条件的基本事件总数除以基本事件总数求概率。

期望基本知识

定义

设离散随机变量 \(X\) 有 \(n\) 种取值，第 \(i\) 种取值为 \(X_i\) ，出现的概率为 \(p_i\) 。
则 \(X\) 的期望 \(E(X)= \sum_{i=1}^{n} X_i*p_i\) 。即 \(X\) 的加权平均值，权值即为某种取值的概率。

性质

1. \(E(aX+b)=aE(X)+b\) ，\(a,b\) 为常数。
2. \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) ，以上两条为期望的线性性质，较为常用。
3. \(E(XY)=E(X)E(Y)\) ，此条在 \(X,Y\) 相互独立时才成立，不太常用。

套路

dp 常用倒推方式，从目标状态到起始状态。

实际要根据是起始和目标状态哪个好确定、哪个好想来决定，这个没有限制，大部分题两种顺序都可以。

常用公式

1. 二点分布。一次抛硬币，有 \(p\) 的概率正面朝上，求正面朝上次数的期望：\(E(X)=p\)。
2. 几何分布：无限次抛硬币，每次有 \(p\) 的概率正面朝上，求第一次正面朝上，要扔的次数的期望\(E(X)=\frac{1}{p}\)。
3. 二项分布：\(n\) 次抛硬币，有 \(p\) 的概率正面朝上，求正面朝上次数的期望：\(E(X)=np\)。
4. 超几何分布：抽样检测，抽查 \(n\) 个物品，共有 \(N\) 个物品，其中 \(K\) 个不合格。抽中不合格物品个数的期望：\(E(X)=n\frac{K}{N}\)。