期望 与 概率论 学习笔记

概率基本知识

套路

dp 常用正推的方式,从起始状态到目标状态。

实际要根据是起始和目标状态哪个好确定、哪个好想来决定,这个没有限制,大部分题两种顺序都可以。

常用公式

  1. 贝叶斯公式:P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)
  2. 几何概型。构造几何模型之后求面积即可。
  3. 几何分布概率:P(X=k)=(1p)k1p
  4. 二项分布概率:P(X=k)=Cnk(1p)(nk)pk
  5. 超几何分布概率:

P(X=k)=CKkCNKnkCNn

误区

有时候某些情况的出现概率不均等,此时不能直接用满足条件的基本事件总数除以基本事件总数求概率。

期望基本知识

定义

设离散随机变量 Xn 种取值,第 i 种取值为 Xi ,出现的概率为 pi
X 的期望 E(X)=i=1nXipi 。即 X 的加权平均值,权值即为某种取值的概率。

性质

  1. E(aX+b)=aE(X)+ba,b 为常数。
  2. E(X+Y)=E(X)+E(Y) ,以上两条为期望的线性性质,较为常用。
  3. E(XY)=E(X)E(Y) ,此条在 X,Y 相互独立时才成立,不太常用。

套路

dp 常用倒推方式,从目标状态到起始状态。

实际要根据是起始和目标状态哪个好确定、哪个好想来决定,这个没有限制,大部分题两种顺序都可以。

常用公式

  1. 二点分布。一次抛硬币,有 p 的概率正面朝上,求正面朝上次数的期望:E(X)=p
  2. 几何分布:无限次抛硬币,每次有 p 的概率正面朝上,求第一次正面朝上,要扔的次数的期望E(X)=1p
  3. 二项分布:n 次抛硬币,有 p 的概率正面朝上,求正面朝上次数的期望:E(X)=np
  4. 超几何分布:抽样检测,抽查 n 个物品,共有 N 个物品,其中 K 个不合格。抽中不合格物品个数的期望:E(X)=nKN
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