Luogu P1777 帮助 题解 [ 紫 ] [ 线性 dp ] [ 状压 dp ]

帮助:大毒瘤!!!调了我2h,拍了我2h,最后没调出来,重写才AC。wdnmd。

思路

这题主要是线性 dp ,而状压 dp 只是最后在统计答案时的一个辅助。

首先定义 dp[i][j][k] 为考虑前 i 本书,已经抽出来了 j 本,最后没被抽出来的一本书是高度 k 的最小混乱度。

每次放入的书与最后一位不同的时候我们把答案 +1

但是这样有一个弊端,就是当我们取出一些书后,还要放回去。我们自然是要放到那些没拿出来的同高度的书里面,但是如果一种高度的书全拿出来了,我们就必须加上那些全拿出来的书的种数。

观察到书本高度只能在 [25,32] 这个区间里,有 8 种高度,所以我们考虑把所有书的高度 25 后状压。

重新定义 dp[i][j][k][l] 表示考虑前 i 本书,已经抽出来 j 本,此时没被拿出来的书的状态为 k ,放在书架里的最后一本书的类型为 l 时的最小混乱度。

于是可以分两种情况转移:

  • 对于不把这本书拿出来的情况:

dp[i][j][k|(a[i])][a[i]]=min(dp[i][j][k|(a[i])][a[i]],dp[i1][j][k][l]+(a[i]!=l))

这里 k|(a[i]) 的原因是要把它放进去。后面 (a[i]!=l) 的原因是如果高度不同,混乱度要 +1

  • 对于把这本书拿出来的情况:

dp[i][j+1][k][l]=min(dp[i][j+1][k][l],dp[i1][j][k][l])

在 dp 完成之后,我们最后枚举后三维,并且让最终状态 ((stp)&p) ,就可以求出书架里少了哪些书,把少的书的个数加上即可,最后求个 min 。注意提前预处理出每个二进制数 1 的个数减小常数。

最后观察到空间开销大,并且每次转移只会用到 i1 里的数,所以考虑滚动数组优化 dp 。
同时注意提前把不合法的情况排除掉,可以减小部分常数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[2][105][260][15],a[105],pre[260],n,m,p,ans,now=0;
void solve()
{
	ans=0x3f3f3f3f;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][0][0][8]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int ni=(i&1),lst=(ni^1);
		memset(dp[ni],0x3f,sizeof(dp[ni]));
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k<=p;k++)
			{
				for(int l=0;l<=8;l++)
				{
					if(dp[lst][j][k][l]>=(0x3f3f3f3f/2))continue;
					dp[ni][j][(k|(1<<a[i]))][a[i]]=min(dp[ni][j][(k|(1<<a[i]))][a[i]],dp[lst][j][k][l]+(a[i]!=l));
					dp[ni][j+1][k][l]=min(dp[ni][j+1][k][l],dp[lst][j][k][l]);
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		for(int j=0;j<=p;j++)
		{
			for(int k=0;k<=8;k++)
			{
				ans=min(ans,dp[(n&1)][i][j][k]+pre[(j^p)&p]);
			}
		}
	}
	printf("Case %d: %d\n\n",now,ans);
}
int main()
{
	for(int i=0;i<(1<<8);i++)
	{
		for(int j=0;j<8;j++)
		{
			pre[i]+=((i>>j)&1);
		}
	}
	while(1)
	{
		now++;
		scanf("%d %d",&n,&m);
		if(n==0&&m==0)break;
		p=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			a[i]-=25;
			p=(p|(1<<a[i]));
		}
		solve();
	}
	return 0;
}
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