Codeforces Round #542 [Alex Lopashev Thanks-Round] (Div. 1) D. Isolation
题目大意
将一段长为 nn 的序列 aa 分为几个的非空段,每段中只出现一次的数的个数不得大于 kk。
求方案数。
Solution
暴力比较显然,设 f[i]f[i] 表示以 ii 作为一段结尾的方案数。
f[i]=∑i−1j=1f[j]f[i]=∑i−1j=1f[j] (cnt(j+1,i)≤k)(cnt(j+1,i)≤k)
其中 cnt(j,i)cnt(j,i) 表示 jj 到 ii 中出现次数为 11 的数的个数。
然后考虑怎么优化,
可以发现,每次新加入一个数 a[i]a[i],cntcnt 改变的是连段连续的区域,
设 s[j]s[j] 表示 cnt(j,i)cnt(j,i),pre[i]pre[i] 表示位置 ii 前第一个 a[i]a[i] 的位置,
那么 pre[pre[i]]+1−pre[i]pre[pre[i]]+1−pre[i] 的 s−1s−1,pre[i]+1−ipre[i]+1−i的s+1s+1。
于是我们想到了暴力美学——分块。
(我的是比较劣的方法,时间复杂度大概是 O(n√nlog(√n))O(n√nlog(√n)) 吧。)
设 tag[j]tag[j] 表示块 jj 全体元素的 ss 需要改变的值。
以 s[i]s[i] 为关键字将块内元素排序。
每次加入 a[i]a[i],就先更新之前的 ss,整块就之间改变 tagtag,不完整的块就 rebuildrebuild。
更新 f[i]f[i],对于 ii 所在的块暴力枚举 ii 之前的元素,
对于前面的块,可以加入f[i]f[i]的就是f[j]f[j] (s[j]+tag[j所在的块]≤k)(s[j]+tag[j所在的块]≤k),
由于块内元素已根据s[i]s[i]排序,那么我们用二分 + 前缀和维护就可以了。
最后答案是f[n]f[n]
然后无。
Code
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using namespace std;
void read(int &x) {
char ch = getchar(); x = 0;
while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48, ch = getchar();
}
struct Arr { int x, y; } b[N + 1], c[M + 1];
int a[N + 1], s[N + 1], add[M + 1], pre[N + 1][2], num[N + 1];
int f[N + 1], sum[N + 1];
int n, m, tot, sq;
bool Cmp(Arr a, Arr b) { return a.x < b.x; }
int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
int Min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }
void Rebuild(int k, int l, int r, int ad) {
fo(i, c[k].x, c[k].y) s[i] += add[k];
fo(i, l, r) s[i] += ad;
add[k] = 0;
fo(i, c[k].x, c[k].y) b[i] = (Arr) { s[i], f[i - 1] };
sort(b + c[k].x, b + 1 + c[k].y, Cmp);
sum[c[k].x] = b[c[k].x].y;
fo(i, c[k].x + 1, c[k].y) sum[i] = (sum[i - 1] + b[i].y) % Mod;
}
void Add(int l, int r, int ad) {
fo(i, 1, tot) {
if (c[i].x > r) break;
if (c[i].y >= l && c[i].x <= r) {
if (c[i].x < l) Rebuild(i, l, Min(c[i].y, r), ad);
else if (c[i].y > r) Rebuild(i, Max(i, c[i].x), r, ad);
else (add[i] += ad);
}
}
}
int Get(int l, int r, int g) {
int mid = 0, w = 0;
while (l <= r) {
mid = l + r >> 1;
b[mid].x <= g ? l = (w = mid) + 1 : r = mid - 1;
}
return w;
}
int main() {
freopen("isolation.in", "r", stdin);
freopen("isolation.out", "w", stdout);
read(n), read(m);
fo(i, 1, n) read(a[i]);
sq = sqrt(n); tot = n / sq + (n % sq > 0);
fo(i, 1, n) num[i] = (i - 1) / sq + 1;
fo(i, 1, n) if (num[i] > num[i - 1])
c[num[i]].x = i, c[num[i - 1]].y = i - 1;
c[num[n]].y = n;
fo(i, 0, n) f[i] = 0;
f[0] = 1;
fo(i, 1, n) {
int k = num[i];
if (pre[a[i]][0]) {
if (pre[a[i]][1] + 1 >= c[k].x) {
fo(j, pre[a[i]][1] + 1, pre[a[i]][0]) -- s[j];
fo(j, pre[a[i]][0] + 1, i) ++ s[j];
Rebuild(k, 1, 0, 0);
} else if (pre[a[i]][0] >= c[k].x) {
Add(pre[a[i]][1] + 1, c[k].x - 1, -1);
fo(j, c[k].x, pre[a[i]][0]) -- s[j];
fo(j, pre[a[i]][0] + 1, i) ++ s[j];
Rebuild(k, 1, 0, 0);
} else {
Add(pre[a[i]][1] + 1, pre[a[i]][0], -1), Add(pre[a[i]][0] + 1, c[k].x - 1, 1);
fo(j, c[k].x, i) ++ s[j];
Rebuild(k, 1, 0, 0);
}
} else {
Add(1, c[k].x - 1, 1);
fo(j, c[k].x, i) ++ s[j];
Rebuild(k, 1, 0, 0);
}
pre[a[i]][1] = pre[a[i]][0], pre[a[i]][0] = i;
fo(j, c[k].x, i) if (s[j] + add[k] <= m) (f[i] += f[j - 1]) %= Mod;
fd(j, k - 1, 1) {
if (b[c[j].x].x + add[j] <= m)
(f[i] += sum[Get(c[j].x, c[j].y, m - add[j])]) %= Mod;
}
if (i == c[k].y) Rebuild(k, 1, 0, 0);
}
printf("%d\n", f[n]);
return 0;
}
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