【总结】01分数规划

定义

我们给定两个数组，$a_i$ 表示 $i$ 的价值，$b_i$表示选取 $i$ 的代价。如果选取 $i$，定义 $x_i=1$ 否则 $x_i=0$。每个物品只有选和不选的两种方案，求一个选择的方案使得 $R=\frac{\sum (a_i\cdot x_i)}{\sum (b_i\cdot x_i)}$，也就是选择物品的总收益除以总代价最大或者最小。

01分数规划问题主要包含以下几个问题：

• 一般的01分数规划
• 最优比率生成树
• 最优比率环

01分数规划

$F(L)=\sum (a_i\cdot x_i)-L\cdot \sum (b_i\cdot x_i)$

可以化简得到

$F(L)=\sum (x_i\cdot (a_i-L\cdot b_i))$

再用 $d_i$ 替代 $a_i-L\cdot b_i$

又可以得到 $F(L)=\sum (x_i\cdot d_i)$

而我们的最优解 $R$, 就可以通过二分得到

例题

01 分数规划

这是一道板子题

我们之前已经得到了

$$F(L)=\sum (x_i\cdot (a_i-L\cdot b_i))$$

我们可以二分答案，二分出的 $mid$ 就是函数中的 $L$, 我们就可以得到 $d_i$, 由于恰好有 $K$ 个 $x_i$ 为 $1$，由于我们要让 $F(L)\ge 0$ 所以我们取 $d_i$ 的前 $k$ 大的值。

核心代码如下

bool cmp(double x, double y) {
    return x > y;
}
bool check(double m) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        d[i] = 1.0 * a[i] - m * b[i];
    sort(d + 1, d + n + 1, cmp);
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        sum += d[i];
    return sum >= 0; 
}
while (r - l >= eps) {
double mid = (l + r) / 2;
    if (check(mid))
        l = mid;
    else
        r = mid;
}

背包问题 V3