动态规划专题：LeetCode 完全平方数

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279. 完全平方数

思路

这道题跟之前的动态规划有些区别。刷了不少动态规划的题目。大部分的结构，都是类似于这种形式

dp[i] = Math.max(min)(dp[i-n]+k, dp[i-m]+k1) + M

这种形式，涉及到最大小值，肯定涉及到题目求解的最值问题

而且一般绝大多数情况下是，时间复杂度都是O(n)。

这次的题目，主要涉及到一些关键点的处理。

如果不考虑这些关键点，无非就是

dp[i] 表示数字为i的时候，最少的平方数字组成，也就问题所要的答案
dp[i] = dp[i-1] + 1（数字i-1加上1，就可以得到i）

关键点

不考虑平方数的时候，比如当 n = 4 的时候，dp[4] = dp[3]+1

但是如果考虑平方数的话，dp[4] = 2^2

然后就一直纠结关键点怎么处理。看了题解，用了遍历。

遍历

for(int i = 1; i <= n; i++){
    dp[i] = n; // 等价 dp[i] = dp[i-1]+1;
    for(int j = 1; i-j*j>=0; j++){
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
    }
}

因为无法判断哪个数的平方可以满足条件。所以需要去遍历。比如对于 n = 4，需要去遍历，4 - 1， 4 - 2^2。需要去取这些遍历的最小值。

注意：因为需要去取这些情况的最值，所以 min 必须含有其本身，所以这种结构，需要一开始去给dp[i]设置一个大的值，dp[i] = n只是这里的特殊情况，其实 dp[i] = dp[i-1]+1 。是不考虑平方数所需最少的数，也就是dp[i]的上界。

如果还不是很清楚，举个例子

dp[4] = min(dp[3]+1, dp[4-1]+1, dp[4-2^2]+1)
dp[10] = min(dp[9]+1, dp[10-1]+1, dp[10-2^2]+1, dp[10-3^3]+1)
拆解为——————>
dp[4] = min(dp[3]+1, dp[4-1]+1）
dp[4] = min(dp[4], dp[4-2^2]+1)
----------->

只不过这个min中所含的参数个数是一直变化的，所以需要遍历。

其次，因为遍历，所以一定要与之前求的值进行比较。所以需要在遍历前进行初始化。

实现

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1]+1;
            for(int j = 1; i-j*j>=0; j++){
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
            }
        }
        return dp[n];

    }
}