UOJ#55. 【WC2014】紫荆花之恋 点分树 替罪羊树 平衡树 splay Treap
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ55.html
题解
做法还是挺容易想到的。
但是写的话……
首先这种题如果只要求一棵树中的满足条件的点数(不需要在加点的同时维护答案),那么显然可以点分治:
假设当前点分中心为 x,设点 y 与 x 的距离为 d[y] ,然后,我们把 d[a]+d[b]≤r[a]+r[b] 移一下项,得到:
d[a]−r[a]≤r[b]−d[b]
那么,我们只需要对于每一个点 b 求出与它不在 x 的同一个子树的节点 a 的个数,a 要满足 d[a]−r[a]≤r[b]−d[b] 。这个东西显然是可以用数据结构维护的。
具体用什么呢?
再说。
现在我们要动态维护答案。考虑如果可以离线怎么做:
对最终的树建一个点分树,也就是搞一个动态点分治。对于每一个点分中心,维护他控制的区域内所有节点的 d[a]-r[a] ;对于他的每一个子树,也维护一下这个东西。
那么加入一个点的时候,我们只要在点分树上走一趟,通过维护的信息更新答案的同时加入当前节点的贡献。
所以我们要的数据结构得支持插入和询问排名,那么自然选用平衡树。
所以离线的复杂度是 O(nlog2n) 。
然而题目要求强制在线。
怎么办?
定期重构点分树?复杂度好像是 O(n√nlogn) 。好像和暴力得分一样……
定期重构太naive了,我们给他升个级!
替罪羊树:当点分树的一个子树划分的过度不均匀的时候,重构子树。
恭喜你得到了一个 O(nlog3n) 的算法。
接下来是写代码和调代码的欢♂乐时光。
可怕的是,这题还卡常数……
下面给出两份代码,一个是splay(68331ms的那个),一个是非旋Treap(107878ms)。
代码1 - splay
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 | #pragma GCC optimize("Ofast","inline") #include <bits/stdc++.h> #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x)) #define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++) #define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second #define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I') #define outval(x) printf(#x" = %d\n",x) #define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("") #define outtag(x) puts("----------"#x"----------") using namespace std; typedef long long LL; LL read(){ LL x=0,f=0; char ch= getchar (); while (! isdigit (ch)) f|=ch== '-' ,ch= getchar (); while ( isdigit (ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch= getchar (); return f?-x:x; } const int N=100005,INF=1.05e9,mod=1e9; const double checkval=0.80; namespace spl{ const int S=N*100; int son[S][2],fa[S],val[S],size[S]; int cnt=0; namespace cly{ int st[S],top=0; inline int new_node(){ return top?st[top--]:++cnt; } inline void Recover( int x){ st[++top]=x; son[x][0]=son[x][1]=fa[x]=val[x]=size[x]=0; } } using cly::new_node; using cly::Recover; #define ls son[x][0] #define rs son[x][1] int new_node( int v){ int x=new_node(); val[x]=v; return x; } inline void pushup( int x){ size[x]=size[ls]+size[rs]+1; } inline int wson( int x){ return son[fa[x]][1]==x; } void rotate( int x){ int y=fa[x],z=fa[y],L=son[y][1]==x,R=L^1; if (z) son[z][son[z][1]==y]=x; fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y; son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y; pushup(y),pushup(x); } void splay( int x){ for ( int y=fa[x];fa[x];rotate(x),y=fa[x]) if (fa[y]) rotate(wson(x)==wson(y)?y:x); } inline void Ins( int &a, int v){ register int x=a,c=0; int f=0; while (x){ c++; size[x]++; f=x; x=v<val[x]?ls:rs; } val[son[f][v>=val[f]]=x=new_node()]=v,fa[x]=f,size[x]=1; if (!a||c>30) splay(a=x); } int Query( int &rt, int v){ int ans=0,c=0; register int x=rt,p=0; while (x){ p=x,c++; if (val[x]<=v) ans+=size[ls]+1,x=rs; else x=ls; } if (p&&c>30) splay(rt=p); return ans; } void Remove( int x){ if (x) Remove(ls),Remove(rs),Recover(x); } int id[N]; void Build( int &x, int L, int R, int f){ if (L>R) return ; int mid=(L+R)>>1; fa[x=id[mid]]=f; Build(ls,L,mid-1,x); Build(rs,mid+1,R,x); pushup(x); } void Build( int &x,vector < int > &v){ if (v.empty()) return ; int n=0; sort(v.begin(),v.end()); for ( auto i : v) id[++n]=new_node(i); Build(x,1,n,0); } #undef ls #undef rs } int Test,n; LL ans=0; vector < int > e[N]; int fa[N][20],depth[N],len[N]; int LCA( int x, int y){ if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y); Fod(i,16,0) if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y]) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; Fod(i,16,0) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } int Dis( int x, int y){ return len[x]+len[y]-2*len[LCA(x,y)]; } int r[N]; namespace dt{ int fa[N],size[N],mxs[N],depth[N]; int rt[N],rtf[N]; int node_cnt=0; void Init(){ clr(fa),clr(size),clr(mxs),clr(depth),clr(rt),clr(rtf); depth[0]=-1,node_cnt++; size[1]=1,mxs[1]=depth[1]=rt[1]=0; spl::Ins(rt[1],0-r[1]); } int id[N],idc=0; void dfs( int x, int pre, int d){ id[++idc]=x; for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&depth[y]>=d) dfs(y,x,d); } int sz[N],msz[N],RT,Size; void dfs2( int x, int pre){ sz[x]=1,msz[x]=0; for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]){ dfs2(y,x); sz[x]+=sz[y]; msz[x]=max(msz[x],sz[y]); } msz[x]=max(msz[x],Size-sz[x]); if (!RT||msz[x]<msz[RT]) RT=x; } vector < int > id1,id2; void dfs3( int x, int pre, int anc){ sz[x]=1; id1.pb(Dis(x,anc)-r[x]); if (fa[anc]) id2.pb(Dis(x,fa[anc])-r[x]); for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]) dfs3(y,x,anc),sz[x]+=sz[y]; } void build( int x, int f, int n){ RT=0,Size=n; dfs2(x,0); x=RT; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1,size[x]=n,mxs[x]=msz[x]; id1.clear(),id2.clear(); dfs3(x,0,x); spl::Build(rt[x],id1); spl::Build(rtf[x],id2); for ( auto y : e[x]) if (!size[y]) build(y,x,sz[y]); } void Rebuild( int x, int f){ idc=0; dfs(x,0,depth[x]); For(_t,1,idc){ int i=id[_t]; spl::Remove(rt[i]),spl::Remove(rtf[i]); depth[i]=size[i]=fa[i]=mxs[i]=rt[i]=rtf[i]=0; } build(x,f,idc); } void Ins( int x, int f){ static vector < int > v; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1; rt[x]=rtf[x]=0; v.clear(); for ( int i=x;i;i=fa[i]){ v.pb(i),size[i]++; mxs[fa[i]]=max(mxs[fa[i]],size[i]); spl::Ins(rt[i],Dis(i,x)-r[x]); if (fa[i]) spl::Ins(rtf[i],Dis(fa[i],x)-r[x]); } node_cnt++; reverse(v.begin(),v.end()); for ( auto i : v) if (mxs[i]>checkval*size[i]){ Rebuild(i,fa[i]); break ; } if (size[x]>1) ans+=spl::Query(rt[x],r[x])-1; for ( int i=x,f,d;depth[i];i=f){ f=fa[i],d=Dis(f,x); ans+=spl::Query(rt[f],r[x]-d)-spl::Query(rtf[i],r[x]-d); } } } int main(){ Test=read(),n=read(); For(i,1,n){ int f=read()^(ans%mod),c=read(); r[i]=read(); if (!f){ dt::Init(); printf ( "%lld\n" ,ans); continue ; } assert (1<=f&&f<i); e[i].pb(f),e[f].pb(i); fa[i][0]=f; For(j,1,16) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; depth[i]=depth[f]+1; len[i]=len[f]+c; dt::Ins(i,f); printf ( "%lld\n" ,ans); } return 0; } |
代码2 - Treap(非旋)
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isdigit (ch)) f|=ch== '-' ,ch= getchar (); while ( isdigit (ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch= getchar (); return f?-x:x; } const int N=100005,INF=1.05e9,mod=1e9; const double checkval=0.80; int randint(){ #ifdef windows return ( rand ()<<15)^ rand (); #else return rand (); #endif } namespace Treap{ const int S=N*100; int son[S][2],val[S],ckv[S],size[S]; int cnt=0; namespace cly{ int st[S],top=0; inline int new_node(){ return top?st[top--]:++cnt; } inline void Recover( int x){ st[++top]=x,son[x][0]=son[x][1]=val[x]=size[x]=0; } } #define ls son[x][0] #define rs son[x][1] int new_node( int v){ int x=cly::new_node(); val[x]=v,ckv[x]=randint(),size[x]=1; return x; } void pushup( int x){ size[x]=size[ls]+size[rs]+1; } int Merge( int x, int y){ if (!x||!y) return x+y; if (ckv[x]<ckv[y]){ son[x][1]=Merge(son[x][1],y),pushup(x); return x; } else { son[y][0]=Merge(x,son[y][0]),pushup(y); return y; } } pair < int , int > Split( int x, int k){ if (!x) return mp(0,0); if (k<=size[ls]){ pair < int , int > p=Split(ls,k); ls=p.se,pushup(x); return mp(p.fi,x); } else { pair < int , int > p=Split(rs,k-size[ls]-1); rs=p.fi,pushup(x); return mp(x,p.se); } } int _Rank( int x, int v){ return x?(val[x]>v?_Rank(ls,v):size[ls]+1+_Rank(rs,v)):0; } int Rank( int x, int v){ return _Rank(x,v-1); } int Query( int x, int v){ return _Rank(x,v); } int id[N]; int tL[N],tR[N],lcnt,rcnt; void Build( int &x, int L, int R){ if (L>R) return ; int Mi=L; For(i,L+1,R) if (ckv[id[i]]<ckv[id[Mi]]) Mi=i; swap(id[Mi],id[R]); x=id[R]; lcnt=rcnt=0; For(i,L,R-1) if (val[id[i]]<=val[x]) tL[++lcnt]=id[i]; else tR[++rcnt]=id[i]; int c=L-1; For(i,1,lcnt) id[++c]=tL[i]; int mid=c; For(i,1,rcnt) id[++c]=tR[i]; Build(ls,L,mid); Build(rs,mid+1,R-1); pushup(x); } void Build( int &x,vector < int > &v){ if (v.empty()) return ; int n=0; for ( auto i : v) id[++n]=new_node(i); Build(x,1,n); } void Ins( int &x, int v){ pair < int , int > p=Split(x,_Rank(x,v)); x=Merge(p.fi,Merge(new_node(v),p.se)); } void Remove( int x){ if (x) Remove(ls),Remove(rs),cly::Recover(x); } #undef ls #undef rs } int Test,n; LL ans=0; vector < int > e[N]; int fa[N][20],depth[N],len[N]; int LCA( int x, int y){ if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y); Fod(i,16,0) if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y]) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; Fod(i,16,0) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } int Dis( int x, int y){ return len[x]+len[y]-2*len[LCA(x,y)]; } int r[N]; namespace dt{ int fa[N],size[N],mxs[N],depth[N]; int rt[N],rtf[N]; int node_cnt=0; void Init(){ clr(fa),clr(size),clr(mxs),clr(depth),clr(rt),clr(rtf); depth[0]=-1,node_cnt++; size[1]=1,mxs[1]=depth[1]=rt[1]=0; Treap::Ins(rt[1],0-r[1]); } int id[N],idc=0; void dfs( int x, int pre, int d){ id[++idc]=x; for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&depth[y]>=d) dfs(y,x,d); } int sz[N],msz[N],RT,Size; void dfs2( int x, int pre){ sz[x]=1,msz[x]=0; for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]){ dfs2(y,x); sz[x]+=sz[y]; msz[x]=max(msz[x],sz[y]); } msz[x]=max(msz[x],Size-sz[x]); if (!RT||msz[x]<msz[RT]) RT=x; } vector < int > id1,id2; void dfs3( int x, int pre, int anc){ sz[x]=1; id1.pb(Dis(x,anc)-r[x]); if (fa[anc]) id2.pb(Dis(x,fa[anc])-r[x]); for ( auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]) dfs3(y,x,anc),sz[x]+=sz[y]; } void build( int x, int f, int n){ RT=0,Size=n; dfs2(x,0); x=RT; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1,size[x]=n,mxs[x]=msz[x]; id1.clear(),id2.clear(); dfs3(x,0,x); Treap::Build(rt[x],id1); Treap::Build(rtf[x],id2); for ( auto y : e[x]) if (!size[y]) build(y,x,sz[y]); } void Rebuild( int x, int f){ idc=0; dfs(x,0,depth[x]); For(_t,1,idc){ int i=id[_t]; Treap::Remove(rt[i]),Treap::Remove(rtf[i]); depth[i]=size[i]=fa[i]=mxs[i]=rt[i]=rtf[i]=0; } build(x,f,idc); } void Ins( int x, int f){ static vector < int > v; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1; rt[x]=rtf[x]=0; v.clear(); for ( int i=x;i;i=fa[i]){ v.pb(i),size[i]++; mxs[fa[i]]=max(mxs[fa[i]],size[i]); Treap::Ins(rt[i],Dis(i,x)-r[x]); if (fa[i]) Treap::Ins(rtf[i],Dis(fa[i],x)-r[x]); } node_cnt++; reverse(v.begin(),v.end()); for ( auto i : v) if (mxs[i]>checkval*size[i]){ Rebuild(i,fa[i]); break ; } if (size[x]>1) ans+=Treap::Query(rt[x],r[x])-1; for ( int i=x,f,d;depth[i];i=f){ f=fa[i],d=Dis(f,x); ans+=Treap::Query(rt[f],r[x]-d)-Treap::Query(rtf[i],r[x]-d); } } } int main(){ srand (_SEED_); Test=read(),n=read(); For(i,1,n){ int f=read()^(ans%mod),c=read(); r[i]=read(); if (!f){ dt::Init(); printf ( "%lld\n" ,ans); continue ; } e[i].pb(f),e[f].pb(i); fa[i][0]=f; For(j,1,16) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; depth[i]=depth[f]+1; len[i]=len[f]+c; dt::Ins(i,f); printf ( "%lld\n" ,ans); } return 0; } |
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