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UOJ#55. 【WC2014】紫荆花之恋 点分树 替罪羊树 平衡树 splay Treap

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ55.html

题解

做法还是挺容易想到的。

但是写的话……

首先这种题如果只要求一棵树中的满足条件的点数(不需要在加点的同时维护答案),那么显然可以点分治:

假设当前点分中心为 x,设点 y 与 x 的距离为 d[y] ,然后,我们把 d[a]+d[b]r[a]+r[b] 移一下项,得到:

d[a]r[a]r[b]d[b]

那么,我们只需要对于每一个点 b 求出与它不在 x 的同一个子树的节点 a 的个数,a 要满足 d[a]r[a]r[b]d[b] 。这个东西显然是可以用数据结构维护的。

具体用什么呢?

再说。

 

现在我们要动态维护答案。考虑如果可以离线怎么做:

对最终的树建一个点分树,也就是搞一个动态点分治。对于每一个点分中心,维护他控制的区域内所有节点的 d[a]-r[a] ;对于他的每一个子树,也维护一下这个东西。

那么加入一个点的时候,我们只要在点分树上走一趟,通过维护的信息更新答案的同时加入当前节点的贡献。

所以我们要的数据结构得支持插入和询问排名,那么自然选用平衡树。

所以离线的复杂度是 O(nlog2n)

 

然而题目要求强制在线。

怎么办?

定期重构点分树?复杂度好像是 O(nnlogn) 。好像和暴力得分一样……

 

定期重构太naive了,我们给他升个级!

替罪羊树:当点分树的一个子树划分的过度不均匀的时候,重构子树。

 

恭喜你得到了一个 O(nlog3n) 的算法。

接下来是写代码和调代码的欢♂乐时光。

 

可怕的是,这题还卡常数……

下面给出两份代码,一个是splay(68331ms的那个),一个是非旋Treap(107878ms)。

代码1 - splay

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#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
    LL x=0,f=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
        f|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
const int N=100005,INF=1.05e9,mod=1e9;
const double checkval=0.80;
namespace spl{
    const int S=N*100;
    int son[S][2],fa[S],val[S],size[S];
    int cnt=0;
    namespace cly{
        int st[S],top=0;
        inline int new_node(){
            return top?st[top--]:++cnt;
        }
        inline void Recover(int x){
            st[++top]=x;
            son[x][0]=son[x][1]=fa[x]=val[x]=size[x]=0;
        }
    }
    using cly::new_node;
    using cly::Recover;
    #define ls son[x][0]
    #define rs son[x][1]
    int new_node(int v){
        int x=new_node();
        val[x]=v;
        return x;
    }
    inline void pushup(int x){
        size[x]=size[ls]+size[rs]+1;
    }
    inline int wson(int x){
        return son[fa[x]][1]==x;
    }
    void rotate(int x){
        int y=fa[x],z=fa[y],L=son[y][1]==x,R=L^1;
        if (z)
            son[z][son[z][1]==y]=x;
        fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y;
        son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y;
        pushup(y),pushup(x);
    }
    void splay(int x){
        for (int y=fa[x];fa[x];rotate(x),y=fa[x])
            if (fa[y])
                rotate(wson(x)==wson(y)?y:x);
    }
    inline void Ins(int &a,int v){
        register int x=a,c=0;
        int f=0;
        while (x){
            c++;
            size[x]++;
            f=x;
            x=v<val[x]?ls:rs;
        }
        val[son[f][v>=val[f]]=x=new_node()]=v,fa[x]=f,size[x]=1;
        if (!a||c>30)
            splay(a=x);
    }
    int Query(int &rt,int v){
        int ans=0,c=0;
        register int x=rt,p=0;
        while (x){
            p=x,c++;
            if (val[x]<=v)
                ans+=size[ls]+1,x=rs;
            else
                x=ls;
        }
        if (p&&c>30)
            splay(rt=p);
        return ans;
    }
    void Remove(int x){
        if (x)
            Remove(ls),Remove(rs),Recover(x);
    }
    int id[N];
    void Build(int &x,int L,int R,int f){
        if (L>R)
            return;
        int mid=(L+R)>>1;
        fa[x=id[mid]]=f;
        Build(ls,L,mid-1,x);
        Build(rs,mid+1,R,x);
        pushup(x);
    }
    void Build(int &x,vector <int> &v){
        if (v.empty())
            return;
        int n=0;
        sort(v.begin(),v.end());
        for (auto i : v)
            id[++n]=new_node(i);
        Build(x,1,n,0);
    }
    #undef ls
    #undef rs
}
int Test,n;
LL ans=0;
vector <int> e[N];
int fa[N][20],depth[N],len[N];
int LCA(int x,int y){
    if (depth[x]<depth[y])
        swap(x,y);
    Fod(i,16,0)
        if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
            x=fa[x][i];
    if (x==y)
        return x;
    Fod(i,16,0)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
int Dis(int x,int y){
    return len[x]+len[y]-2*len[LCA(x,y)];
}
int r[N];
namespace dt{
    int fa[N],size[N],mxs[N],depth[N];
    int rt[N],rtf[N];
    int node_cnt=0;
    void Init(){
        clr(fa),clr(size),clr(mxs),clr(depth),clr(rt),clr(rtf);
        depth[0]=-1,node_cnt++;
        size[1]=1,mxs[1]=depth[1]=rt[1]=0;
        spl::Ins(rt[1],0-r[1]);
    }
    int id[N],idc=0;
    void dfs(int x,int pre,int d){
        id[++idc]=x;
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&depth[y]>=d)
                dfs(y,x,d);
    }
    int sz[N],msz[N],RT,Size;
    void dfs2(int x,int pre){
        sz[x]=1,msz[x]=0;
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&!size[y]){
                dfs2(y,x);
                sz[x]+=sz[y];
                msz[x]=max(msz[x],sz[y]);
            }
        msz[x]=max(msz[x],Size-sz[x]);
        if (!RT||msz[x]<msz[RT])
            RT=x;
    }
    vector <int> id1,id2;
    void dfs3(int x,int pre,int anc){
        sz[x]=1;
        id1.pb(Dis(x,anc)-r[x]);
        if (fa[anc])
            id2.pb(Dis(x,fa[anc])-r[x]);
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&!size[y])
                dfs3(y,x,anc),sz[x]+=sz[y];
    }
    void build(int x,int f,int n){
        RT=0,Size=n;
        dfs2(x,0);
        x=RT;
        fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1,size[x]=n,mxs[x]=msz[x];
        id1.clear(),id2.clear();
        dfs3(x,0,x);
        spl::Build(rt[x],id1);
        spl::Build(rtf[x],id2);
        for (auto y : e[x])
            if (!size[y])
                build(y,x,sz[y]);
    }
    void Rebuild(int x,int f){
        idc=0;
        dfs(x,0,depth[x]);
        For(_t,1,idc){
            int i=id[_t];
            spl::Remove(rt[i]),spl::Remove(rtf[i]);
            depth[i]=size[i]=fa[i]=mxs[i]=rt[i]=rtf[i]=0;
        }
        build(x,f,idc);
    }
    void Ins(int x,int f){
        static vector <int> v;
        fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1;
        rt[x]=rtf[x]=0;
        v.clear();
        for (int i=x;i;i=fa[i]){
            v.pb(i),size[i]++;
            mxs[fa[i]]=max(mxs[fa[i]],size[i]);
            spl::Ins(rt[i],Dis(i,x)-r[x]);
            if (fa[i])
                spl::Ins(rtf[i],Dis(fa[i],x)-r[x]);
        }
        node_cnt++;
        reverse(v.begin(),v.end());
        for (auto i : v)
            if (mxs[i]>checkval*size[i]){
                Rebuild(i,fa[i]);
                break;
            }
        if (size[x]>1)
            ans+=spl::Query(rt[x],r[x])-1;
        for (int i=x,f,d;depth[i];i=f){
            f=fa[i],d=Dis(f,x);
            ans+=spl::Query(rt[f],r[x]-d)-spl::Query(rtf[i],r[x]-d);
        }
    }
}
int main(){
    Test=read(),n=read();
    For(i,1,n){
        int f=read()^(ans%mod),c=read();
        r[i]=read();
        if (!f){
            dt::Init();
            printf("%lld\n",ans);
            continue;
        }
        assert(1<=f&&f<i);
        e[i].pb(f),e[f].pb(i);
        fa[i][0]=f;
        For(j,1,16)
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        depth[i]=depth[f]+1;
        len[i]=len[f]+c;
        dt::Ins(i,f);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

  

代码2 - Treap(非旋)

 

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#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
    LL x=0,f=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
        f|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
const int N=100005,INF=1.05e9,mod=1e9;
const double checkval=0.80;
int randint(){
    #ifdef windows
        return (rand()<<15)^rand();
    #else
        return rand();
    #endif
}
namespace Treap{
    const int S=N*100;
    int son[S][2],val[S],ckv[S],size[S];
    int cnt=0;
    namespace cly{
        int st[S],top=0;
        inline int new_node(){
            return top?st[top--]:++cnt;
        }
        inline void Recover(int x){
            st[++top]=x,son[x][0]=son[x][1]=val[x]=size[x]=0;
        }
    }
    #define ls son[x][0]
    #define rs son[x][1]
    int new_node(int v){
        int x=cly::new_node();
        val[x]=v,ckv[x]=randint(),size[x]=1;
        return x;
    }
    void pushup(int x){
        size[x]=size[ls]+size[rs]+1;
    }
    int Merge(int x,int y){
        if (!x||!y)
            return x+y;
        if (ckv[x]<ckv[y]){
            son[x][1]=Merge(son[x][1],y),pushup(x);
            return x;
        }
        else {
            son[y][0]=Merge(x,son[y][0]),pushup(y);
            return y;
        }
    }
    pair <int,int> Split(int x,int k){
        if (!x)
            return mp(0,0);
        if (k<=size[ls]){
            pair <int,int> p=Split(ls,k);
            ls=p.se,pushup(x);
            return mp(p.fi,x);
        }
        else {
            pair <int,int> p=Split(rs,k-size[ls]-1);
            rs=p.fi,pushup(x);
            return mp(x,p.se);
        }
    }
    int _Rank(int x,int v){
        return x?(val[x]>v?_Rank(ls,v):size[ls]+1+_Rank(rs,v)):0;
    }
    int Rank(int x,int v){
        return _Rank(x,v-1);
    }
    int Query(int x,int v){
        return _Rank(x,v);
    }
    int id[N];
    int tL[N],tR[N],lcnt,rcnt;
    void Build(int &x,int L,int R){
        if (L>R)
            return;
        int Mi=L;
        For(i,L+1,R)
            if (ckv[id[i]]<ckv[id[Mi]])
                Mi=i;
        swap(id[Mi],id[R]);
        x=id[R];
        lcnt=rcnt=0;
        For(i,L,R-1)
            if (val[id[i]]<=val[x])
                tL[++lcnt]=id[i];
            else
                tR[++rcnt]=id[i];
        int c=L-1;
        For(i,1,lcnt)
            id[++c]=tL[i];
        int mid=c;
        For(i,1,rcnt)
            id[++c]=tR[i];
        Build(ls,L,mid);
        Build(rs,mid+1,R-1);
        pushup(x);
    }
    void Build(int &x,vector <int> &v){
        if (v.empty())
            return;
        int n=0;
        for (auto i : v)
            id[++n]=new_node(i);
        Build(x,1,n);
    }
    void Ins(int &x,int v){
        pair <int,int> p=Split(x,_Rank(x,v));
        x=Merge(p.fi,Merge(new_node(v),p.se));
    }
    void Remove(int x){
        if (x)
            Remove(ls),Remove(rs),cly::Recover(x);
    }
    #undef ls
    #undef rs
}
int Test,n;
LL ans=0;
vector <int> e[N];
int fa[N][20],depth[N],len[N];
int LCA(int x,int y){
    if (depth[x]<depth[y])
        swap(x,y);
    Fod(i,16,0)
        if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
            x=fa[x][i];
    if (x==y)
        return x;
    Fod(i,16,0)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
int Dis(int x,int y){
    return len[x]+len[y]-2*len[LCA(x,y)];
}
int r[N];
namespace dt{
    int fa[N],size[N],mxs[N],depth[N];
    int rt[N],rtf[N];
    int node_cnt=0;
    void Init(){
        clr(fa),clr(size),clr(mxs),clr(depth),clr(rt),clr(rtf);
        depth[0]=-1,node_cnt++;
        size[1]=1,mxs[1]=depth[1]=rt[1]=0;
        Treap::Ins(rt[1],0-r[1]);
    }
    int id[N],idc=0;
    void dfs(int x,int pre,int d){
        id[++idc]=x;
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&depth[y]>=d)
                dfs(y,x,d);
    }
    int sz[N],msz[N],RT,Size;
    void dfs2(int x,int pre){
        sz[x]=1,msz[x]=0;
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&!size[y]){
                dfs2(y,x);
                sz[x]+=sz[y];
                msz[x]=max(msz[x],sz[y]);
            }
        msz[x]=max(msz[x],Size-sz[x]);
        if (!RT||msz[x]<msz[RT])
            RT=x;
    }
    vector <int> id1,id2;
    void dfs3(int x,int pre,int anc){
        sz[x]=1;
        id1.pb(Dis(x,anc)-r[x]);
        if (fa[anc])
            id2.pb(Dis(x,fa[anc])-r[x]);
        for (auto y : e[x])
            if (y!=pre&&!size[y])
                dfs3(y,x,anc),sz[x]+=sz[y];
    }
    void build(int x,int f,int n){
        RT=0,Size=n;
        dfs2(x,0);
        x=RT;
        fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1,size[x]=n,mxs[x]=msz[x];
        id1.clear(),id2.clear();
        dfs3(x,0,x);
        Treap::Build(rt[x],id1);
        Treap::Build(rtf[x],id2);
        for (auto y : e[x])
            if (!size[y])
                build(y,x,sz[y]);
    }
    void Rebuild(int x,int f){
        idc=0;
        dfs(x,0,depth[x]);
        For(_t,1,idc){
            int i=id[_t];
            Treap::Remove(rt[i]),Treap::Remove(rtf[i]);
            depth[i]=size[i]=fa[i]=mxs[i]=rt[i]=rtf[i]=0;
        }
        build(x,f,idc);
    }
    void Ins(int x,int f){
        static vector <int> v;
        fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1;
        rt[x]=rtf[x]=0;
        v.clear();
        for (int i=x;i;i=fa[i]){
            v.pb(i),size[i]++;
            mxs[fa[i]]=max(mxs[fa[i]],size[i]);
            Treap::Ins(rt[i],Dis(i,x)-r[x]);
            if (fa[i])
                Treap::Ins(rtf[i],Dis(fa[i],x)-r[x]);
        }
        node_cnt++;
        reverse(v.begin(),v.end());
        for (auto i : v)
            if (mxs[i]>checkval*size[i]){
                Rebuild(i,fa[i]);
                break;
            }
        if (size[x]>1)
            ans+=Treap::Query(rt[x],r[x])-1;
        for (int i=x,f,d;depth[i];i=f){
            f=fa[i],d=Dis(f,x);
            ans+=Treap::Query(rt[f],r[x]-d)-Treap::Query(rtf[i],r[x]-d);
        }
    }
}
int main(){
    srand(_SEED_);
    Test=read(),n=read();
    For(i,1,n){
        int f=read()^(ans%mod),c=read();
        r[i]=read();
        if (!f){
            dt::Init();
            printf("%lld\n",ans);
            continue;
        }
        e[i].pb(f),e[f].pb(i);
        fa[i][0]=f;
        For(j,1,16)
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        depth[i]=depth[f]+1;
        len[i]=len[f]+c;
        dt::Ins(i,f);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

  

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