UOJ#469. 【ZJOI2019】开关 生成函数

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ469.html

前言

clytql当场秒掉此题可惜不知道为什么fst了。

题解

考虑构建指数生成函数。

对于第 \(i\) 项，设其概率为 \(p_i\) (即题目中的 \(p_i / \sum_i p_i\)) 。构建指数生成函数：

\[f_i(x) = \sum_{j\geq 0, j\bmod 2 = s_i} p_i ^ j \frac {x^ j } { j !} \\ = \frac 1 2 (e ^ {p_i x } + (-1)^{s_i} e ^ {-p_i x }) \]

\(F(x) = \prod_i f_i(x) ,f(x) = \sum_{i} i! [x^i]F(x)\) 的 \(k\) 次项系数就是随机按 \(k\) 次开关到达指定状态的概率。

我们要求的是第一次到达指定状态的概率，所以我们需要将多项式 \(f(x)\) 除去"\(s_i\) 全为 0 时的多项式 \(g(x)\)"。

我们要算的是期望，所以我们要求的是 \(\sum_{i\geq 0} i \cdot [x^i]\frac{f(x)}{g(x)}\)，即将 \(x=1\) 代入下式

\[\frac{\rm d} { {\rm d} x } \left ( \frac {f(x)}{g(x)}\right ) \]

的各个系数之和。注意由于我们在求 \(f(x)\)、\(g(x)\) 时，就已经乘了一个阶乘将指数生成函数转化成对应的普通生成函数了。因为我们要除去的方案是从终止状态出发再回到终止状态的方案数(OGF)，而不是在到达终止状态之前绕一圈的方案数(如果除以EGF)。

由于

\[\cfrac{\rm d} { {\rm d} x } \left ( \cfrac {f(x)}{g(x)} \right ) = \cfrac{f'(x) g(x) - g'(x) f(x) }{g ^ 2(x)} \]

于是，我们来对每一个项考虑一下：

\[e ^ {kx} = \sum_{i\geq 0 } k ^ i \frac { x ^ i } { i ! } \]

\[\sum_{i\geq 0} k ^ i x ^ i= \frac{1}{1 - kx} \]

\[\cfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left (\frac{1}{1 - kx}\right ) = \frac {k} { (1-kx) ^ 2} \]

接下来我们把 \(x = 1\) 代入求解。

考虑到当 \(k = 1\) 时我们会得到 NAN，这导致了求解失败。

但是我们显然可以肯定答案不是 NAN。那么发生了什么？

之前提到，答案是

\[\cfrac{f'(x) g(x) - g'(x) f(x) }{g ^ 2(x)} \]

我们只需要将分子分母上下同乘 \((1-x) ^ 2\) 。

注意到 \(g^2(x)\) 里面有 \(\cfrac {1}{(1-x) ^ 2}\) ，但是 $f'(x) g(x) $ 和 \(f(x)g'(x)\) 里面都有 \(\cfrac {1}{(1-x) ^ 3}\) ，看起来似乎又是 NAN。注意到 $f'(x) g(x) $ 和 \(f(x)g'(x)\) 里面的 \(\cfrac {1}{(1-x) ^ 3}\) 项在减法时抵消了，所以没有影响。

总时间复杂度 \(O(n \sum{p_ i} )\) 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof x)
#define For(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=(b);i>=(a);i--)
#define fi first
#define se second
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define outval(x) cerr<<#x" = "<<x<<endl
#define outtag(x) cerr<<"---------------"#x"---------------"<<endl
#define outarr(a,L,R) cerr<<#a"["<<L<<".."<<R<<"] = ";\
						For(_x,L,R)cerr<<a[_x]<<" ";cerr<<endl;
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=105,S=1e5+10,mod=998244353;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Add(int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
int Del(int x){
	return x<0?x+mod:x;
}
int inv2=(mod+1)>>1;
int n;
int s[N],p[N],sum=0,invs;
int f[S],g[S],val[S],inv[N],O=5e4+5;
int ans=0;
void Get(int *a){
	static int b[S];
	For(i,-sum,sum){
		a[i+O]=0;
		val[i+O]=(LL)Del(i)*invs%mod;
		inv[i+O]=Pow(Del(1-val[i+O]),mod-2);
	}
	a[0+O]=1;
	For(i,1,n){
		For(j,-sum,sum)
			b[j+O]=0;
		For(j,-sum,sum){
			if (!a[j+O])
				continue;
			Add(b[j+p[i]+O],a[j+O]);
			if (s[i])
				Del(b[j-p[i]+O],a[j+O]);
			else
				Add(b[j-p[i]+O],a[j+O]);
		}
		For(j,-sum,sum)
			a[j+O]=b[j+O];
	}
}
int calc1(int *a,int *b){
	// a' * b * (1 - x) ^ 2 
	int ans=0;
	For(i,-sum,sum-1)
		Add(ans,(LL)b[i+O]*inv[i+O]%mod);
	ans=(LL)ans*a[sum+O]%mod;
	return ans;
}
int calc2(int *a){
	return (LL)a[sum+O]*a[sum+O]%mod;
}
int main(){
	n=read();
	For(i,1,n)
		s[i]=read();
	For(i,1,n)
		p[i]=read(),sum+=p[i];
	invs=Pow(sum,mod-2);
	Get(f),clr(s),Get(g);
	Add(ans,calc1(f,g));
	Del(ans,calc1(g,f));
	ans=(LL)ans*Pow(calc2(g),mod-2)%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}