UOJ#440. 【NOIP2018】填数游戏 动态规划

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前言

菜鸡选手到省选了才做联赛题。

题解

首先我们分析一下性质：

1. 假如一个格子是 0，那么它的右上角一定是 0 。

2. 假如一个格子的左边和上面两个格子一样，那么从这个格子到终点的任何两条路径相同。

不难发现，对于第 3 个斜列，我们发现这个斜列至少有一对相邻的相同格子。

也就是说，从第 3 行第 3 列这个格子到达终点的所有路径都相同。

设 $dp[c][i][j][k]$ 表示前 $c$ 列，最后一列的第 $i+1$ 个格子到终点的所有路径相同，最后一列当前有 $j$ 个数，这个 $j$ 个数状压起来是 $k$ ，这种情况下的方案数。

由于之前发现的性质，我们可以发现这种DP状态到第 3 列开始之后就很少了，到第 8 列以后就稳定只有 8 个状态了。

所以大力转移即可。

时间复杂度 $O(m)$ 。

我偷懒用了Map，时间复杂度变成 $O(m\log ?)$ 

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int mod=1e9+7;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Add(int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
int Del(int x){
	return x<0?x+mod:x;
}
int n,m;
map <int,int> f,g;
map <int,int> :: iterator it;
int Log[257];
int calc(int s1,int s2){
	int a=(s1&s2)|(~s1&~s2);
	return a?Log[a&-a]:n-1;
}
int Hash(int l,int a,int b){
	return l<<(n+5)|a<<(n+1)|b;
}
void upd(int l,int a,int b,int v){
	int s=(b>>1)&((1<<l)-1),r=((b>>1)>>l)<<l;
	for (int t=s;;t=(t-1)&s){
		int nxl=min(l,calc(s,t)+1);
		Add(g[Hash(nxl,a-1,t|r)],v);
		if (!t)
			break;
	}
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	For(i,2,256)
		Log[i]=Log[i>>1]+1;
	int ub=(1<<n)-1;
	For(i,0,ub)
		f[Hash(n,n,i)]=1;
	For(i,2,m){
		g.clear();
		for (it=f.begin();it!=f.end();it++){
			int now=(*it).fi,l=now>>(n+5),a=now>>(n+1)&15,b=now&ub;
			if (a>l)
				upd(l,a,b,(*it).se);
			else {
				if (a!=n)
					upd(l,a+1,b,(*it).se);
				upd(l,a+1,b|(1<<a),(*it).se);
			}
		}
		swap(f,g);
	}
	int ans=0;
	for (it=f.begin();it!=f.end();it++){
		int v=(*it).se,t=n-((*it).fi>>(n+1)&15);
		Add(ans,(LL)v*(1<<t)%mod);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}