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UOJ#424. 【集训队作业2018】count 多项式,FFT,矩阵

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ424.html

题解

主席太神仙了!

首先我们把题意转化成:对所有挺好序列建 笛卡尔树,有多少笛卡尔树互不同构。

容易推出 dp 式子:f[i][j] 表示 j 个数,他们的 max 为 i 。

f[i][j]=j1k=0f[i1][k]f[i][jk1]f[i][0]=1f[0][i]=0(i>0)f[1][i]=1

这里注意一下:设当前的max为 v,左侧区间的max为 maxL,右侧为 maxR,那么由于每次是取区间最大值的最靠左下标,所以 maxL<v,而 maxR<=v 。

先不考虑每 1...m 每一个数都要出现。

可以发现,如果 maxL<v-1 ,那么只要将左子树的所有节点都加上 v-1-MaxL ,那么 maxL<v-1 的任意一种情况都可以在 maxL=v-1 时的所有情况中找到同构的情况。

右侧也类似。

所以左侧只往 i-1转移,右侧只往 i 转移。这样本身显然是没有同构了。

现在考虑 1...m 每一个数都要出现。

显然如果 n<m 那么答案为 0 。

否则,显然 1...m 不用全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S1) 包含了 1...m 全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S2)。

接下来我们来说明一下 S1 的每一种笛卡尔树都与 S2 的一种笛卡尔树对应。

如果 S1 中的一棵笛卡尔树本来就包含了 1...m ,那么直接对应即可。

如果 S1 中的一棵笛卡尔树少包含了一些,那么由于 n>=m ,一定可以在不改变笛卡尔树的同时调节节点权值使得 1..m 都出现,于是也可以对应 S2 中的一种笛卡尔树。

由于 S1 中的任意两个笛卡尔树互不同构,所以 S1 与 S2 的元素一一对应,也就是说 |S1|=|S2| 。

于是我们要求的就是 f[m][n]

设多项式 fi(x) 满足 fi(x)[j]=f[i][j] ,那么我们可以得到递推式:

fi(x)=xfi1(x)fi(x)+1fi(x)=11xfi1(x)

这个式子很棘手。

我们把他表示成 Ai(x)Bi(x) 的形式,再推一推:

Ai(x)Bi(x)=11xAi1(x)Bi1(x)=Bi1(x)Bi1(x)xAi1(x)

于是我们可以得到线性递推式:

Ai(x)=Bi1(x)

Bi(x)=Bi1(x)xAi1(x)

于是我们可以得到:

[01x1](Ai1(x)Bi1(x))=(Ai(x)Bi(x))

其中 A0(x)=B0(x)=1

直接暴力把多项式当做矩阵中的元素,复杂度 O(nlog2n)

直接把单位根代入,直接得到 Am(x)Bm(x) 的点值,最后 DFT 回来。时间复杂度 O(nlogn)

还要写个多项式求逆。

所以总时间复杂度 O(nlogn)

好像有个 O(n) 的神仙做法。不会。告辞。

代码

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#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
                        For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
    LL x=0,f=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
        f|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
const int N=1<<20,mod=998244353;
void Add(int &x,int y){
    if ((x+=y)>=mod)
        x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
    if ((x-=y)<0)
        x+=mod;
}
int Pow(int x,int y){
    int ans=1;
    for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
        if (y&1)
            ans=(LL)ans*x%mod;
    return ans;
}
namespace poly{
    int w[N],R[N];
    int a[N],b[N];
    void prework(int n,int d){
        For(i,0,n-1)
            R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
        w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
        For(i,2,n-1)
            w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
    }
    void FFT(int a[],int n){
        For(i,0,n-1)
            if (i<R[i])
                swap(a[i],a[R[i]]);
        for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
            for (int i=0;i<n;i+=d<<1)
                for (int j=0;j<d;j++){
                    int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod;
                    a[i+j+d]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod;
                    Add(a[i+j],tmp);
                }
    }
    vector <int> Mul(vector <int> A,vector <int> B){
        static vector <int> ans;
        ans.clear();
        int n,d;
        for (n=1,d=0;n<A.size()+B.size();n<<=1,d++);
        prework(n,d);
        For(i,0,n-1)
            a[i]=b[i]=0;
        For(i,0,(int)A.size()-1)
            a[i]=A[i];
        For(i,0,(int)B.size()-1)
            b[i]=B[i];
        FFT(a,n),FFT(b,n);
        For(i,0,n-1)
            a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
        w[1]=Pow(w[1],mod-2);
        For(i,2,n-1)
            w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
        FFT(a,n);
        int inv=Pow(n,mod-2);
        For(i,0,n-1)
            ans.pb((LL)a[i]*inv%mod);
        while (!ans.empty()&&!ans.back())
            ans.pop_back();
        return ans;
    }
    vector <int> Get_Inv(vector <int> a,int n){
        static vector <int> A,B,tmp;
        A.clear(),B.clear();
        B.pb(Pow(a[0],mod-2));
        for (int d=1;d<=n*2;d<<=1){
            while (A.size()<=d)
                if (a.size()>d)
                    A.pb(a[A.size()]);
                else
                    A.pb(0);
            tmp=Mul(A,Mul(B,B));
            tmp.resize(d+1,0);
            B.resize(d+1,0);
            For(i,0,d)
                B[i]=(2LL*B[i]-tmp[i]+mod)%mod;
        }
        B.resize(n+1,0);
        return B;
    }
}
using poly::FFT;
using poly::Mul;
using poly::Get_Inv;
struct Mat{
    int v[2][2];
    Mat(){}
    Mat(int x){
        clr(v);
        For(i,0,1)
            v[i][i]=x;
    }
    Mat(int v00,int v01,int v10,int v11){
        v[0][0]=v00,v[0][1]=v01;
        v[1][0]=v10,v[1][1]=v11;
    }
    friend Mat operator * (Mat A,Mat B){
        Mat ans(0);
        For(i,0,1)
            For(j,0,1)
                For(k,0,1)
                    ans.v[i][j]=((LL)A.v[i][k]*B.v[k][j]+ans.v[i][j])%mod;
        return ans;
    }
};
Mat Pow(Mat x,int y){
    Mat ans(1);
    for (;y;y>>=1,x=x*x)
        if (y&1)
            ans=ans*x;
    return ans;
}
int n,m;
int k,d;
int a[N],b[N];
vector <int> A,B;
int solve(int n,int m){
    if (n<m)
        return 0;
    for (k=1,d=0;k<=n;k<<=1,d++);
    poly::prework(k,d);
    For(i,0,k-1){
        Mat res=Pow(Mat(0,1,(mod-poly::w[i])%mod,1),m)*Mat(1,0,1,0);
        a[i]=res.v[0][0],b[i]=res.v[1][0];
    }
    poly::w[1]=Pow(poly::w[1],mod-2);
    For(i,2,k-1)
        poly::w[i]=(LL)poly::w[i-1]*poly::w[1]%mod;
    FFT(a,k),FFT(b,k);
    A.clear(),B.clear();
    For(i,0,n)
        A.pb(a[i]),B.pb(b[i]);
    A=Mul(A,Get_Inv(B,n));
    A.resize(n+1,0);
    return A[n];
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    cout<<solve(n,m)<<endl;
    return 0;
}

  

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