UOJ#424. 【集训队作业2018】count 多项式,FFT,矩阵
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ424.html
题解
主席太神仙了!
首先我们把题意转化成:对所有挺好序列建 笛卡尔树,有多少笛卡尔树互不同构。
容易推出 dp 式子:f[i][j] 表示 j 个数,他们的 max 为 i 。
f[i][j]=j−1∑k=0f[i−1][k]∗f[i][j−k−1]f[i][0]=1f[0][i]=0(i>0)f[1][i]=1
这里注意一下:设当前的max为 v,左侧区间的max为 maxL,右侧为 maxR,那么由于每次是取区间最大值的最靠左下标,所以 maxL<v,而 maxR<=v 。
先不考虑每 1...m 每一个数都要出现。
可以发现,如果 maxL<v-1 ,那么只要将左子树的所有节点都加上 v-1-MaxL ,那么 maxL<v-1 的任意一种情况都可以在 maxL=v-1 时的所有情况中找到同构的情况。
右侧也类似。
所以左侧只往 i-1转移,右侧只往 i 转移。这样本身显然是没有同构了。
现在考虑 1...m 每一个数都要出现。
显然如果 n<m 那么答案为 0 。
否则,显然 1...m 不用全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S1) 包含了 1...m 全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S2)。
接下来我们来说明一下 S1 的每一种笛卡尔树都与 S2 的一种笛卡尔树对应。
如果 S1 中的一棵笛卡尔树本来就包含了 1...m ,那么直接对应即可。
如果 S1 中的一棵笛卡尔树少包含了一些,那么由于 n>=m ,一定可以在不改变笛卡尔树的同时调节节点权值使得 1..m 都出现,于是也可以对应 S2 中的一种笛卡尔树。
由于 S1 中的任意两个笛卡尔树互不同构,所以 S1 与 S2 的元素一一对应,也就是说 |S1|=|S2| 。
于是我们要求的就是 f[m][n] 。
设多项式 fi(x) 满足 fi(x)[j]=f[i][j] ,那么我们可以得到递推式:
fi(x)=xfi−1(x)fi(x)+1fi(x)=11−xfi−1(x)
这个式子很棘手。
我们把他表示成 Ai(x)Bi(x) 的形式,再推一推:
Ai(x)Bi(x)=11−xAi−1(x)Bi−1(x)=Bi−1(x)Bi−1(x)−xAi−1(x)
于是我们可以得到线性递推式:
Ai(x)=Bi−1(x)
Bi(x)=Bi−1(x)−xAi−1(x)
于是我们可以得到:
[01−x1](Ai−1(x)Bi−1(x))=(Ai(x)Bi(x))
其中 A0(x)=B0(x)=1 。
直接暴力把多项式当做矩阵中的元素,复杂度 O(nlog2n) 。
直接把单位根代入,直接得到 Am(x) 和 Bm(x) 的点值,最后 DFT 回来。时间复杂度 O(nlogn) 。
还要写个多项式求逆。
所以总时间复杂度 O(nlogn) 。
好像有个 O(n) 的神仙做法。不会。告辞。
代码
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 | #pragma GCC optimize("Ofast","inline") #include <bits/stdc++.h> #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x)) #define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++) #define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second #define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I') #define outval(x) printf(#x" = %d\n",x) #define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("") #define outtag(x) puts("----------"#x"----------") #define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\ For(_v2,L,R) printf ( "%d " ,a[_v2]); puts ( "" ); using namespace std; typedef long long LL; LL read(){ LL x=0,f=0; char ch= getchar (); while (! isdigit (ch)) f|=ch== '-' ,ch= getchar (); while ( isdigit (ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch= getchar (); return f?-x:x; } const int N=1<<20,mod=998244353; void Add( int &x, int y){ if ((x+=y)>=mod) x-=mod; } void Del( int &x, int y){ if ((x-=y)<0) x+=mod; } int Pow( int x, int y){ int ans=1; for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod) if (y&1) ans=(LL)ans*x%mod; return ans; } namespace poly{ int w[N],R[N]; int a[N],b[N]; void prework( int n, int d){ For(i,0,n-1) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1)); w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n); For(i,2,n-1) w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod; } void FFT( int a[], int n){ For(i,0,n-1) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]); for ( int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1) for ( int i=0;i<n;i+=d<<1) for ( int j=0;j<d;j++){ int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod; a[i+j+d]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod; Add(a[i+j],tmp); } } vector < int > Mul(vector < int > A,vector < int > B){ static vector < int > ans; ans.clear(); int n,d; for (n=1,d=0;n<A.size()+B.size();n<<=1,d++); prework(n,d); For(i,0,n-1) a[i]=b[i]=0; For(i,0,( int )A.size()-1) a[i]=A[i]; For(i,0,( int )B.size()-1) b[i]=B[i]; FFT(a,n),FFT(b,n); For(i,0,n-1) a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod; w[1]=Pow(w[1],mod-2); For(i,2,n-1) w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod; FFT(a,n); int inv=Pow(n,mod-2); For(i,0,n-1) ans.pb((LL)a[i]*inv%mod); while (!ans.empty()&&!ans.back()) ans.pop_back(); return ans; } vector < int > Get_Inv(vector < int > a, int n){ static vector < int > A,B,tmp; A.clear(),B.clear(); B.pb(Pow(a[0],mod-2)); for ( int d=1;d<=n*2;d<<=1){ while (A.size()<=d) if (a.size()>d) A.pb(a[A.size()]); else A.pb(0); tmp=Mul(A,Mul(B,B)); tmp.resize(d+1,0); B.resize(d+1,0); For(i,0,d) B[i]=(2LL*B[i]-tmp[i]+mod)%mod; } B.resize(n+1,0); return B; } } using poly::FFT; using poly::Mul; using poly::Get_Inv; struct Mat{ int v[2][2]; Mat(){} Mat( int x){ clr(v); For(i,0,1) v[i][i]=x; } Mat( int v00, int v01, int v10, int v11){ v[0][0]=v00,v[0][1]=v01; v[1][0]=v10,v[1][1]=v11; } friend Mat operator * (Mat A,Mat B){ Mat ans(0); For(i,0,1) For(j,0,1) For(k,0,1) ans.v[i][j]=((LL)A.v[i][k]*B.v[k][j]+ans.v[i][j])%mod; return ans; } }; Mat Pow(Mat x, int y){ Mat ans(1); for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ans=ans*x; return ans; } int n,m; int k,d; int a[N],b[N]; vector < int > A,B; int solve( int n, int m){ if (n<m) return 0; for (k=1,d=0;k<=n;k<<=1,d++); poly::prework(k,d); For(i,0,k-1){ Mat res=Pow(Mat(0,1,(mod-poly::w[i])%mod,1),m)*Mat(1,0,1,0); a[i]=res.v[0][0],b[i]=res.v[1][0]; } poly::w[1]=Pow(poly::w[1],mod-2); For(i,2,k-1) poly::w[i]=(LL)poly::w[i-1]*poly::w[1]%mod; FFT(a,k),FFT(b,k); A.clear(),B.clear(); For(i,0,n) A.pb(a[i]),B.pb(b[i]); A=Mul(A,Get_Inv(B,n)); A.resize(n+1,0); return A[n]; } int main(){ n=read(),m=read(); cout<<solve(n,m)<<endl; return 0; } |
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