Min_25 筛 学习笔记

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html

前置技能

　　埃氏筛法

　　整除分块（这里有提到）

本文概要

　　1. 问题模型

　　2. Min_25 筛

　　3. 模板题以及模板代码

问题模型

　　有一个积性函数 $f$ ，对于所有质数 $p$，$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式，$f(p^k)$ 非常容易计算（不一定是关于 p 的多项式）。

　　求

$$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$

　　$n\leq 10^{10}$

　　${\rm Time\ Limit} = 1s$

Min_25 筛

　　设集合 $P$ 表示素数集合。

　　设

$$g_{n,m} = \sum_{2\leq i\leq n, \forall p\in P\ and\ p\leq m,p\nmid i} f(i)$$

　　则假设 $p\in P$。

$$g(n,m) = \sum_{m<p\leq \sqrt n ,p^e\leq n,e\geq 1} f(p^e) \left([e>1] + \sum_{2\leq x \leq \lfloor \frac n {p^e} \rfloor, \forall p'\in P\ and\ p'\leq p ,p'\nmid x}f(x)\right)+\sum_{m<p\leq n} f(p)$$

　　设

$$h(n) = \sum_{1\leq p\leq n} f(p)$$ 

　　则

$$g(n,m)=\sum_{m<p\leq \sqrt n ,p^e\leq n,e\geq 1} f(p^e) \left([e>1] + g(\lfloor \frac n {p^e} \rfloor,p)\right)+h(n)-h(m)$$

（以上公式以及下图摘自 集训队论文2018 - 朱震霆 - 一些特殊的数论函数求和问题）

　　接下来我们考虑如何求 $h(x)$ 。

　　

　　时间复杂度积分算一算就可以知道是 $O(\frac {n^{\frac 3 4}}{\log n})$。

　　在求 $g(n,m)$ 的直接爆搜就好了，连记忆化都不用！（但这个我不会证明，为什么是对的自己看论文）

　　具体代码实现主要参见模板部分。

模板题以及模板代码

51Nod1222 最小公倍数计数

题意

　　给定 $a,b$， 求

$$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n]$$

$$a,b\leq 10^{11}$$

$${\rm Time \ Limit } = 6s$$

题解

　　先差分一下，转化成求前缀和。

　　先把原题的统计无序数对转化成统计有序数对，最终 $ans' = (ans+n)/2$ 即可。

　　设集合 $P$ 表示素数集合。

　　设 $c(n,p)$ 表示最大的使得 $p^{c(n,p)}|n$ 的数。

　　若 ${\rm lcm } (i,j) = n$ ，则

$$\forall p \in P, c(n,p)=\max(c(i,p),c(j,p))$$

　　所以，$\forall p\in P$ ，$c(i,p)$ 和 $c(j,p)$ 共有 $2c(n,p) +1 $ 种取值方法。

　　所以，设

$$n=\prod_i p_i^{k_i} (p_i\in P)$$

　　则

$$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n] = \prod_t (2k_t+1) $$

　　显然这个式子满足 Min_25 筛的条件，直接筛就好了。

　　关于本题，还有一些其他做法，详见https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int Base=1000005,N=Base*2+5;
LL n,cn,a,b,base;
LL h[N],ps[N],cnt;
LL p[N],pcnt;
#define ID(i) ((i)<=base?i:cnt-cn/(i)+1)
LL f(int e){
	return e*2+1;
}
LL g(LL n,LL m){
	LL ans=max(0LL,h[ID(n)]-h[ID(p[m-1])]);
	for (int i=m;i<=pcnt&&p[i]*p[i]<=n;i++){
		LL nn=n/p[i];
		for (int e=1;nn>0;e++,nn/=p[i])
			ans+=f(e)*((e>1)+g(nn,i+1));
	}
	return ans;
}
LL _solve(LL _n){
	cn=n=_n,base=(LL)sqrt(n),cnt=pcnt=0;
	for (LL i=1;i<=n;i=ps[cnt]+1)
		ps[++cnt]=n/(n/i),h[cnt]=ps[cnt]-1;
	p[0]=1;
	for (LL i=2;i<=base;i++)
		if (h[i]!=h[i-1]){
			p[++pcnt]=i;//顺便把质数筛出来
			LL i2=i*i;
			for (LL j=cnt;ps[j]>=i2;j--)
				h[j]-=h[ID(ps[j]/i)]-(pcnt-1);
		}
	for (LL i=1;i<=cnt;i++)
		h[i]*=3;
	return g(n,1)+1;
}
LL solve(LL n){
	return (_solve(n)+n)/2;
}
int main(){
	a=read(),b=read();
	cout<<solve(b)-solve(a-1)<<endl;
	return 0;
}