CodeForces 286E Ladies' Shop 多项式 FFT

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题目传送门 - CodeForces 286E

题意

　　首先，给你$n$个数（并告诉你$m$），分别为$p_{1\dots n}$。

　　让你求一个数的集合，满足：

　　　　当且仅当从这个数的集合中取数（可以重复）求和时（设得到的和为$sum$），如果$sum\leq m$，则数$sum$在给你的$n$个数之中。

　　如果没有这种集合，输出$NO$。

　　否则，先输出$YES$,然后输出这个集合最小时的元素个数，并输出集合中的所有元素。

　　$1\leq n,m\leq 10^6,1\leq p_i\leq 10^6$

题解

　　大大的标签里面写着$FFT$。

　　然而我只会$O(m \log^2 m)$。QAQ

　　瞅了眼题解。发现我果然是大菜鸡。

 

　　好了开始讲算法。

　　首先，我们构造一个多项式：

　　$$f=1x^0+a_1x^1+a_2x^2+\dots+a_ix^i+\dots+a_{m-1}x^{m-1}+a_mx^m$$

　　其中，如果数$i$在告诉你的$n$个数中出现过，那么$a_i=1$，否则$a_i=0$。

　　然后我们$FFT$求得$f^2$。

　　有什么用？？

　　当然有用。（这大概是个比较好的套路）

　　设$f^2$的$i$次项系数为$b_i$，那么，如果$b_i>0$则可以通过给你的$n$个数来合成$i$。

　　那为什么我们先要让给你的$n$个数的$a_i$都变成$1$呢，显然给你的$n$个数一定会被合成，也一定会被用于合成其他的数。

　　那为什么$a_0=1$呢？显然一个数加上$0$是不变的，弄个$0$上去可以保留原来有的$n$个数。

　　于是你得到了从原来的$n$个数中拿出$0$~$2$个的结果。

　　然而最多可能拿$m$个。

　　所以你还要继续，用快速幂求得$f^m$。

　　时间复杂度$O(m\log^2 m)$。

　　事实上我傻掉了。

　　显然$a_i>0$的，$b_i$也$>0$，由于$0$的存在。

　　那么我们只要保证$a_i=0,b_i>0,i\leq m$的不存在就好了。

　　如果第一轮不存在这些不合法的。

　　那么显然后面也不可能。因为系数不为$0$的仍然是那些原来的$i$。

　　于是只要一次$FFT$。

　　然后考虑一下哪些数可以省略。

　　显然，结果中$b_i$有两次贡献是$0$与$a_i$做的，如果$b_i$大于$2$说明$i$可以通过其他的两个数相加得到，所以$i$可以不在结果的集合里。反之，如果$b_i=2$，那么显然一定在结果的集合里面。

　　然后就放代码了。注意我代码里面的$n$的意义不是输入的$n$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<21;
double PI=acos(-1.0);
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while (!('0'<=ch&&ch<='9'))
		ch=getchar();
	while ('0'<=ch&&ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
	return x;
}
int nn,m,a[N],b[N];
int n,L,R[N];
struct C{
	double r,i;
	C(){}
	C(double a,double b){r=a,i=b;}
	C operator + (C x){return C(r+x.r,i+x.i);}
	C operator - (C x){return C(r-x.r,i-x.i);}
	C operator * (C x){return C(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}A[N],B[N],CC[N],w[N];
double x[N],y[N],z[N];
void FFT(C a[]){
	for (int i=0;i<n;i++)
		if (i>R[i])
			swap(a[i],a[R[i]]);
	for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
		for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
			for (int j=0;j<d;j++){
				C tmp=w[t*j]*a[i+j+d];
				a[i+j+d]=a[i+j]-tmp;
				a[i+j]=a[i+j]+tmp;
			}
}
void FFT_times(double x[],double y[],double z[]){
	for (int i=0;i<n;i++)
		A[i]=C(x[i],0),B[i]=C(y[i],0);
	FFT(A),FFT(B);
	for (int i=0;i<n;i++)
		CC[i]=A[i]*B[i],w[i].i*=-1.0;
	FFT(CC);
	for (int i=0;i<n;i++)
		z[i]=CC[i].r/n,w[i].i*=-1.0;
}
int main(){
	nn=read(),m=read();
	memset(a,0,sizeof a);
	a[0]=1;
	for (int i=1,x;i<=nn;i++)
		a[read()]=1;
	for (n=1,L=0;n<(m+1)*2;n<<=1,L++);
	for (int i=0;i<n;i++){
		R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
		w[i]=C(cos(2*i*PI/n),sin(2*i*PI/n));
	}
	for (int i=0;i<n;i++)
		x[i]=y[i]=i<=m?a[i]:0;
	FFT_times(x,y,z);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		b[i]=(int)(z[i]+0.5);
	int flag=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (!a[i]&&b[i]){
			flag=-1;
			break;
		}
		else if (a[i]&&b[i]==2)
			flag++;
	if (flag==-1)
		puts("NO");
	else {
		puts("YES");
		printf("%d\n",flag);
		for (int i=1;i<=m;i++)
			if (a[i]&&b[i]==2)
				printf("%d ",i);
	}
	return 0;
}