Codechef FIBTREE 树链剖分 主席树 LCA 二次剩余 快速幂
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题意
给定一个有 $n$ 个节点，初始点权都为 $0$ 的无根树。
现在让你处理 $m$ 次操作，有下面 $4$ 种类型。
1. 链上加斐波那契数列，其中 $f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,\cdots$
2. 链上求和
3. 给定树根，子树求和
4. 回到第 $x$ 次询问时的状态。
强制在线。答案对于 $10^9+9$ 取模。
$n,m\leq 10^5$
题解
这大概又是一道我从去年留到今年的为数不多的坑。终于填掉了。
这次两个错误找了半天： 1. query 在子区间结果相加的时候忘记取模 2. 忘记考虑第三种操作中 $x=y$ 的情况。
下面讲算法。
首先我们来把斐波那契数列搞定。
矩阵乘法当然可以，但是麻烦、常数大。
首先我们找到斐波那契数列的通项公式：
$$f_i=\cfrac{\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$$
我们可以暴力跑出来，在模 $10^9+9$ 意义下，有两个数满足 $ i^2\equiv 5 \pmod{10^9+9}$ 。
这里我们取 $\sqrt{5}\equiv 383008016 \pmod{10^9+9}$ 。
则：
$\cfrac{\sqrt{5}}{5}\equiv 276601605 \pmod{10^9+9}$
$\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\equiv 691504013 \pmod{10^9+9}$
$\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\equiv 308495997 \pmod{10^9+9}$
所以，
$$f_i\equiv 276601605\times(691504013^{\ n}-308495997^{\ n})\pmod{10^9+9}$$
于是我们成功把链上加斐波那契数列变成了链上加等比数列。
两个方向，两个公比，至少维护 $4$ 个量了。
树链修改，我们只需要树链剖分一下就可以了。
树链询问，通过树剖直接搞。
子树询问，由于我们要树剖，我们先会定根，但是这个询问的根是 $x$，子树是 $y$ ，不是我们定的，所以我们要分三种情况考虑一下。
1. $y=x$ 那么显然答案就是所有的 $n$ 个节点权值和。
2. $y\neq x$ 且 $y$ 是 $x$ 的祖先 那么答案就是整棵树的权值和减去 $y$ 连向 $x$ 的那棵子树权值和。
3. $y\neq x$ 且 $y$ 不是 $x$ 的祖先 那么答案显然就是 $y$ 这棵子树的答案
至于第四种操作，那么就是要你强行写可持久化，写主席树。
由于要写主席树，如果写下传的懒标记会很难写，所以我们采用标记永久化。
具体标记永久化方法看代码，这里不多加赘述。
代码很长，请慎重选择是否开做此题，谨防挖坑。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100005,S=N*200,mod=1e9+9;
struct Gragh{
static const int M=N*2;
int cnt,y[M],nxt[M],fst[N];
void clear(){cnt=0;memset(fst,0,sizeof fst);}
void add(int a,int b){y[++cnt]=b,nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;}
}g;
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
if (y&1)
ans=1LL*ans*x%mod;
return 0;
}
int n,m,V=276601605,V1=691504013,V2=308495997;
int Pow1[N],Pow2[N],Sum1[N],Sum2[N];
int size[N],depth[N],son[N],fa[N][20],in[N],out[N],top[N],p[N],ap[N],Time=0,cnp=0;
void Get_Gen_Info(int x,int pre,int d){
size[x]=1,son[x]=-1,depth[x]=d,fa[x][0]=pre;
for (int i=1;i<20;i++)
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for (int i=g.fst[x];i;i=g.nxt[i])
if (g.y[i]!=pre){
int y=g.y[i];
Get_Gen_Info(y,x,d+1);
size[x]+=size[y];
if (son[x]==-1||size[y]>size[son[x]])
son[x]=y;
}
}
void Get_Top(int x,int Top){
in[x]=++Time,ap[p[x]=++cnp]=x,top[x]=Top;
if (son[x]!=-1)
Get_Top(son[x],Top);
for (int i=g.fst[x];i;i=g.nxt[i]){
int y=g.y[i];
if (y!=son[x]&&y!=fa[x][0])
Get_Top(y,y);
}
out[x]=Time;
}
struct Seg{
int sum,L1,L2,R1,R2,ls,rs,len;
int TagV(){return (1LL*(L1+R1)*Sum1[len-1]-1LL*(L2+R2)*Sum2[len-1]+sum)%mod;}
}T[S];
int root[N],tot=0;
int build(int L,int R){
int rt=++tot;
T[rt].len=R-L+1;
if (L==R)
return rt;
int mid=(L+R)>>1;
T[rt].ls=build(L,mid);
T[rt].rs=build(mid+1,R);
return rt;
}
void update(int prt,int &rt,int L,int R,int xL,int xR,int type,int Lv,int Rv){
if (rt==0)
rt=prt;
if (L>xR||R<xL)
return;
if (rt==prt)
T[rt=++tot]=T[prt];
if (xL<=L&&R<=xR){
if (type==0)
T[rt].L1=(T[rt].L1+Pow1[Lv])%mod,T[rt].L2=(T[rt].L2+Pow2[Lv])%mod;
else
T[rt].R1=(T[rt].R1+Pow1[Rv])%mod,T[rt].R2=(T[rt].R2+Pow2[Rv])%mod;
return;
}
int mid=(L+R)>>1,lenL=mid-L+1,lenR=R-mid;
update(T[prt].ls,T[rt].ls,L,mid,xL,xR,type,Lv,Rv+lenR);
update(T[prt].rs,T[rt].rs,mid+1,R,xL,xR,type,Lv+lenL,Rv);
T[rt].sum=(T[T[rt].ls].TagV()+T[T[rt].rs].TagV())%mod;
}
int query(int rt,int L,int R,int xL,int xR,int L1,int L2,int R1,int R2){
if (L>xR||R<xL)
return 0;
L1=(L1+T[rt].L1)%mod,L2=(L2+T[rt].L2)%mod;
R1=(R1+T[rt].R1)%mod,R2=(R2+T[rt].R2)%mod;
if (xL<=L&&R<=xR){
int res=T[rt].sum;
res=(1LL*(L1+R1)*Sum1[T[rt].len-1]-1LL*(L2+R2)*Sum2[T[rt].len-1]+res)%mod;
res=(res+mod)%mod;
return res;
}
int mid=(L+R)>>1,lenL=mid-L+1,lenR=R-mid;
return (query(T[rt].ls,L,mid,xL,xR,L1,L2,1LL*R1*Pow1[lenR]%mod,1LL*R2*Pow2[lenR]%mod)
+query(T[rt].rs,mid+1,R,xL,xR,1LL*L1*Pow1[lenL]%mod,1LL*L2*Pow2[lenL]%mod,R1,R2))%mod;
}
int LCA(int x,int y){
if (depth[x]<depth[y])
swap(x,y);
for (int i=19;i>=0;i--)
if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
x=fa[x][i];
if (x==y)
return x;
for (int i=19;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
void Tupdate(int prt,int &rt,int x,int y){
int Fx=top[x],Fy=top[y],Tx=0,Ty=0;
int lca=LCA(x,y),len=depth[x]+depth[y]-depth[lca]*2+1;
while (Fx!=Fy)
if (depth[Fx]>depth[Fy]){
update(prt,rt,1,n,p[Fx],p[x],1,0,Tx+1-(n-p[x]));
Tx+=depth[x]-depth[Fx]+1;
x=fa[Fx][0],Fx=top[x];
}
else {
Ty+=depth[y]-depth[Fy]+1;
update(prt,rt,1,n,p[Fy],p[y],0,len-Ty+1-(p[Fy]-1),0);
y=fa[Fy][0],Fy=top[y];
}
if (depth[x]<depth[y])
update(prt,rt,1,n,p[x],p[y],0,Tx+1-(p[x]-1),0);
else
update(prt,rt,1,n,p[y],p[x],1,0,Tx+1-(n-p[x]));
}
int Tquery(int rt,int x,int y){
int Fx=top[x],Fy=top[y];
int ans=0;
while (Fx!=Fy){
if (depth[Fx]<depth[Fy])
swap(x,y),swap(Fx,Fy);
ans=(ans+query(rt,1,n,p[Fx],p[x],0,0,0,0))%mod;
x=fa[Fx][0],Fx=top[x];
}
if (depth[x]>depth[y])
swap(x,y);
ans=(ans+query(rt,1,n,p[x],p[y],0,0,0,0))%mod;
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
Pow1[0]=Pow2[0]=1,Sum1[0]=Sum2[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++){
Pow1[i]=1LL*Pow1[i-1]*V1%mod,Sum1[i]=(Sum1[i-1]+Pow1[i])%mod;
Pow2[i]=1LL*Pow2[i-1]*V2%mod,Sum2[i]=(Sum2[i-1]+Pow2[i])%mod;
}
g.clear();
for (int i=1,a,b;i<n;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
g.add(a,b);
g.add(b,a);
}
Get_Gen_Info(1,0,0);
Get_Top(1,1);
memset(T,0,sizeof T);
root[0]=build(1,n);
int LASTANS=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
char opt[5];
int x,y;
scanf("%s%d",opt+1,&x);
x^=LASTANS;
root[i]=root[i-1];
if (opt[1]=='A'){
scanf("%d",&y);
Tupdate(root[i-1],root[i],x,y);
}
if (opt[1]=='R')
root[i]=root[x];
if (opt[1]=='Q'&&opt[2]=='S'){
scanf("%d",&y);
if (x==y){
LASTANS=query(root[i],1,n,1,n,0,0,0,0);
LASTANS=(1LL*LASTANS*V%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",LASTANS);
}
else if (in[y]<=in[x]&&out[x]<=out[y]){
for (int j=19;j>=0;j--)
if (depth[x]-(1<<j)>depth[y])
x=fa[x][j];
LASTANS=query(root[i],1,n,1,n,0,0,0,0)-query(root[i],1,n,in[x],out[x],0,0,0,0);
LASTANS=(1LL*LASTANS*V%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",LASTANS);
}
else {
LASTANS=query(root[i],1,n,in[y],out[y],0,0,0,0);
LASTANS=(1LL*LASTANS*V%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",LASTANS);
}
}
if (opt[1]=='Q'&&opt[2]=='C'){
scanf("%d",&y);
LASTANS=Tquery(root[i],x,y);
LASTANS=(1LL*LASTANS*V%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",LASTANS);
}
}
return 0;
}
