Codechef CHSIGN Change the Signs(May Challenge 2018) 动态规划
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题意
第一行,一个数$T$,表示数据组数。
对于每一组数据,给定一个$n$,接下来是一个长度为$n$的数列$a$,$a$的第$i$项为$a_i$。
所有$a_i$都是正整数。现在你可以选择若干个不同的$a_i$使他取相反数,但是你需要保证修改后的序列的任意一段长度大于$1$的连续自序列的数字总和都为正数。在满足条件的基础上,最小化修改之后$\sum_{i=1}^n a_i$,并输出方案。
$T,n\leq 10^5,\ \sum n \leq 5\times 10^5,\ a_i\leq 10^9$
题解
对操作之后的序列求前缀和之后,我们可以得出以下结论:
$s_i>s_{i-2}\ \ \ \ (i=2)$
$s_i>s_{i-2}且s_i>s_{i-3}\ \ \ (2<i\leq n)$
而且,显然,被修改的$a_i$必然满足$a_i<a_{i-1},\ a_i<a_{i+1}$(当$i=1或i=n$的时候稍微特殊)。
设$dp_i$为处理了$a_{1\cdots i}$且修改了$a_i$时,保证前$i$个元素构成的子序列合法,$\sum a_{1\cdots i}$的最大值。
先不考虑转移条件,列出转移方程:
$$dp_i=\min(dp_j-s_j+s_i-2a_i)$$(这里的$s$指$a$被修改之前的$s$,不要和之前提到的$s$混淆,后面的也要注意。)
然后我们来罗列一下条件:
对于$i$,满足$a_i<a_{i-1},\ a_i<a_{i+1}$。
于是第$i-1$个元素不能被修改,故$j<i-1$。
当$j=i-2$时,需要满足$-a_{i-2}+a_{i-1}-a{i}>0$。
当$j<i-2$时,由于$a_i<a_{i-1},\ a_i<a_{i+1}$,所以$s_{i}>s_{i-2},\ s_{i}>s_{i-3}$且$s_{i+1}>s_{i-1},\ s_{i+1}>s_{i-2}$(太显然了,自己验证)。所以只要$j<i-2$就可以转移。于是我们只需要对$dp_j-s_j$取个前缀$\min$即可。
至于求方案这个没什么思维含量就不说了。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N=100005; const LL INF=1LL<<57; int T,n; LL a[N],s[N],dp[N],f[N],Min[N]; LL cc(int i){ return dp[i]-s[i]; } int main(){ scanf("%d",&T); while (T--){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i]; a[n+1]=INF; LL ans=0; dp[0]=0; dp[1]=a[2]>a[1]?-a[1]:a[1]; Min[0]=0; Min[1]=cc(1)<cc(0)?1:0; for (int i=1;i<=n;i++){ if (i>=2){ dp[i]=INF; if (a[i]<a[i-1]&&a[i]<a[i+1]){ if (-a[i-2]+a[i-1]-a[i]>0) if (dp[i-2]+s[i]-s[i-2]-2*a[i]<dp[i]){ dp[i]=dp[i-2]+s[i]-s[i-2]-2*a[i]; f[i]=i-2; } if (i-3>=0) if (cc(Min[i-3])+s[i]-2*a[i]<dp[i]){ dp[i]=cc(Min[i-3])+s[i]-2*a[i]; f[i]=Min[i-3]; } } Min[i]=cc(Min[i-1])>cc(i)?i:Min[i-1]; } if (dp[i]+s[n]-s[i]<dp[ans]+s[n]-s[ans]) ans=i; } for (int i=ans;i;i=f[i]) a[i]=-a[i]; for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",a[i]); puts(""); } return 0; } /* dp[i]=min(dp[j]+s[i]-s[j]-2*a[i]) a[i]<a[i-1],a[i]<a[i+1] j==i-2,-a[i-2]+a[i-1]-a[i]>0 j<i-2,显然可以 */